Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ АС ромба равна 48, а тангенс угла ВСА равен 0,75.

Дано:

• Ромб ABCD
• Диагональ AC = 48
• \[ \text{tg}(\angle BCA) = 0.75 \]

Найти: Радиус вписанной окружности (r).

Решение:

1. Свойства ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
2. Треугольник BOC: \(\angle BOC = 90^{\circ}\). \(AC = 48\), значит \(OC = AC/2 = 48/2 = 24\).
3. Нахождение BC: Из прямоугольного треугольника BOC, зная \(\text{tg}(\angle BCA) = OB/OC\), найдем OB: \(OB = OC \cdot \text{tg}(\angle BCA) = 24 \cdot 0.75 = 18\).
4. Сторона ромба: По теореме Пифагора в \(\triangle BOC\): \(BC^2 = OB^2 + OC^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900\). Следовательно, \(BC = \sqrt{900} = 30\).
5. Площадь ромба: Площадь ромба можно вычислить двумя способами:
• Через диагонали: \(S = (AC \cdot BD)/2\). Диагональ BD = 2 * OB = 2 * 18 = 36. \(S = (48 \cdot 36)/2 = 864\).
• Через сторону и высоту: \(S = BC \cdot h\), где h — высота ромба, равная диаметру вписанной окружности (2r).
6. Нахождение радиуса: Приравниваем площади: \(30 \cdot 2r = 864\). \(60r = 864\). \(r = 864 / 60 = 14.4\).

Ответ: 14,4