Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ АС ромба равна 70, а тангенс угла ВСА равен 24/7.

Разбор задачи:

Нам нужно найти радиус окружности, вписанной в ромб. Вписанная окружность касается всех сторон ромба. Ее радиус равен половине высоты ромба.

Дано:

• Ромб ABCD
• Диагональ AC = 70
• \[ \text{tg}(\angle BCA) = \frac{24}{7} \]

Найти:

• Радиус вписанной окружности (r)

Решение:

1. Свойства ромба: Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.
2. Треугольник BOC: Треугольник BOC — прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны (\[ \angle BOC = 90^{\circ} \]).
3. Находим BO: Поскольку диагонали делятся пополам, то \( BO = \frac{1}{2} BD \) и \( AO = \frac{1}{2} AC \). Дано \( AC = 70 \), следовательно, \( AO = \frac{70}{2} = 35 \).
4. Находим tg угла OCB: В прямоугольном треугольнике BOC, \( \text{tg}(\angle OCB) = \frac{BO}{OC} \). Так как угел BCA = угел OCB, то \( \text{tg}(\angle BCA) = \frac{BO}{AO} \).
5. Находим BO: Подставляем известные значения: \( \frac{24}{7} = \frac{BO}{35} \). Отсюда \( BO = \frac{24}{7} \times 35 = 24 \times 5 = 120 \).
6. Находим BD: Диагональ BD равна \( 2 \times BO = 2 \times 120 = 240 \).
7. Высота ромба: Площадь ромба можно вычислить двумя способами: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \) и \( S = a \times h \), где \( d_1, d_2 \) — диагонали, \( a \) — сторона ромба, \( h \) — высота.
8. Находим сторону AB: В прямоугольном треугольнике AOB, по теореме Пифагора: \( AB^2 = AO^2 + BO^2 \). \( AB^2 = 35^2 + 120^2 = 1225 + 14400 = 15625 \). \( AB = \sqrt{15625} = 125 \).
9. Находим площадь ромба: \( S = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 70 \times 240 = 35 \times 240 = 8400 \).
10. Находим высоту ромба: \( S = AB \times h \) => \( 8400 = 125 \times h \) => \( h = \frac{8400}{125} = 67.2 \).
11. Находим радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности равен половине высоты: \( r = \frac{h}{2} = \frac{67.2}{2} = 33.6 \).

Ответ: 33.6