Найдите радиус окружности, вписанной в ромб ABCD, если диагональ АС ромба равна 8, а тангенс угла ВСА равен 0,75.

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Пусть O - точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC = 8/2 = 4. В прямоугольном треугольнике BOC, tg(BCA) = OB/OC. Следовательно, OB = OC * tg(BCA) = 4 * 0.75 = 3. Радиус вписанной окружности равен высоте ромба, которая равна удвоенной высоте треугольника BOC, проведенной из вершины B к гипотенузе BC. Площадь треугольника BOC = 0.5 * OB * OC = 0.5 * 3 * 4 = 6. Гипотенуза BC = sqrt(OB^2 + OC^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5. Высота h из B к BC в треугольнике BOC равна (2 * Площадь) / BC = (2 * 6) / 5 = 12/5 = 2.4. Радиус вписанной окружности равен высоте ромба, которая равна удвоенной высоте треугольника BOC, проведенной из вершины O к стороне BC. Эта высота равна радиусу вписанной окружности. Высота из O к BC в треугольнике BOC равна (OB * OC) / BC = (3 * 4) / 5 = 12/5 = 2.4. Таким образом, радиус вписанной окружности равен 2.4.