Найдите ранг матрицы $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Решение:

Ранг матрицы равен максимальному количеству линейно независимых строк (или столбцов).

Рассмотрим строки матрицы:

• Первая строка: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \)
• Вторая строка: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \)

Чтобы проверить линейную независимость, можно попытаться представить одну строку как линейную комбинацию другой, или найти ненулевой минор максимального порядка.

Проверим, можно ли вычесть одну строку из другой, чтобы получить нулевую строку:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Так как мы не можем получить нулевую строку путём вычитания (или другого линейного комбинирования, приводящего к нулевой строке), строки линейно независимы. Максимальный порядок ненулевого минора равен 2 (например, минор, образованный первыми двумя столбцами: \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 0 \), а минор, образованный первым и третьим столбцами: \( \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 1 \)).

Наибольший минор, который можно составить из данной матрицы, имеет порядок 2. Например, используя первые два столбца, мы получаем матрицу \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \), определитель которой равен \( 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 0 \). Используя первый и третий столбцы, получаем матрицу \( \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \), определитель которой равен \( 1 \cdot 4 - 3 \cdot 1 = 1 \). Таким образом, существует ненулевой минор второго порядка.

Поскольку ранг не может быть больше числа строк (2) или числа столбцов (3), и мы нашли ненулевой минор второго порядка, ранг матрицы равен 2.

Ответ: 2