Найдите расстояние между прямыми BD₁ и СВ₁, если ABCDA₁B₁D₁С₁ — куб с ребром 1.

Ответ: \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]

1. Шаг 1: Докажем, что B₁C перпендикулярна плоскости BCD₁.

   Рассмотрим треугольник BCD₁. Он равносторонний, так как все его стороны являются диагоналями граней куба и равны \(\sqrt{2}\). Пусть O - точка пересечения медиан треугольника BCD₁.

2. Шаг 2: Найдем B₁O.

   Так как B₁B перпендикулярна плоскости ABCD, то B₁B перпендикулярна BD. Аналогично, B₁B перпендикулярна BC. Значит, B₁B перпендикулярна плоскости BCD₁.

   Следовательно, B₁O - высота тетраэдра BB₁CD₁.

   Найдем BO как \(\frac{2}{3}\) от высоты равностороннего треугольника BCD₁ со стороной \(\sqrt{2}\):

   \[BO = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}.\]

3. Шаг 3: Найдем B₁O из прямоугольного треугольника BB₁O:

   \[B_1O = \sqrt{BB_1^2 + BO^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{15}{9}} = \frac{\sqrt{15}}{3}.\]

4. Шаг 4: Рассмотрим тетраэдр BB₁CD₁ и найдем его объем двумя способами.

   С одной стороны, объем тетраэдра равен \(\frac{1}{3} \cdot S_{BCD_1} \cdot B_1O\), где \(S_{BCD_1} = \frac{(\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

   Таким образом, \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot B_1O = \frac{\sqrt{3}}{6} B_1O\).

   С другой стороны, объем тетраэдра равен \(\frac{1}{3} \cdot S_{BB_1C} \cdot BD_1\), где \(S_{BB_1C} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}\), и \(BD_1 = \sqrt{2}\).

   Таким образом, \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}\).

5. Шаг 5: Приравняем объемы и найдем высоту B₁O:

   \[\frac{\sqrt{3}}{6} B_1O = \frac{\sqrt{2}}{6} \implies B_1O = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.\]

6. Шаг 6: Найдем расстояние от точки B₁ до плоскости BCD₁.

   Так как B₁C перпендикулярна плоскости BCD₁, то расстояние от точки B₁ до этой плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из B₁ на плоскость BCD₁.

   Этот перпендикуляр является высотой B₁O тетраэдра BB₁CD₁.

   Расстояние равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: \[\frac{\sqrt{2}}{2}\]