Найдите расстояние между точками А и В, если: а) А(-3,2) и В(-5,15); б) А(2,1) и С(-$$\frac{1}{5}$$) - середина АВ.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе. Нам нужно найти расстояние между точками в координатной плоскости. Поехали!

а) Расстояние между точками A(-3, 2) и B(-5, 15)

Для нахождения расстояния между двумя точками на координатной плоскости, мы можем использовать формулу расстояния, которая является применением теоремы Пифагора:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) - координаты точек A и B соответственно.

В нашем случае, \( A(-3, 2) \) и \( B(-5, 15) \), поэтому подставим значения в формулу:

\[d = \sqrt{(-5 - (-3))^2 + (15 - 2)^2}\] \[d = \sqrt{(-5 + 3)^2 + (13)^2}\] \[d = \sqrt{(-2)^2 + 169}\] \[d = \sqrt{4 + 169}\] \[d = \sqrt{173}\]

Таким образом, расстояние между точками A и B равно \(\sqrt{173}\).

б) Точка C - середина AB, найти расстояние между A(2, 1) и B.

Если точка C является серединой отрезка AB, то координаты точки C можно найти как среднее арифметическое координат точек A и B:

\[C(x_c, y_c) = (\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})\]

Нам известны координаты точки A(2, 1) и координаты середины C(-$$\frac{1}{5}$$, y_c). Подставим известные значения и найдем координаты точки B(x_B, y_B):

\[-\frac{1}{5} = \frac{2 + x_B}{2}\] Умножим обе части уравнения на 2: \[-\frac{2}{5} = 2 + x_B\] Теперь найдем x_B: \[x_B = -\frac{2}{5} - 2\] \[x_B = -\frac{2}{5} - \frac{10}{5}\] \[x_B = -\frac{12}{5}\]

Теперь найдем y_c, а затем y_B:

Так как в условии указано только значение абсциссы точки C, будем считать, что ординаты точек A и C совпадают, то есть y_c = 1. В этом случае:

\[1 = \frac{1 + y_B}{2}\] Умножим обе части на 2: \[2 = 1 + y_B\] Теперь найдем y_B: \[y_B = 2 - 1\] \[y_B = 1\]

Итак, координаты точки B(-$$\frac{12}{5}$$, 1). Теперь найдем расстояние между точками A(2, 1) и B(-$$\frac{12}{5}$$, 1), используя формулу расстояния:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] \[d = \sqrt{(-\frac{12}{5} - 2)^2 + (1 - 1)^2}\] \[d = \sqrt{(-\frac{12}{5} - \frac{10}{5})^2 + 0}\] \[d = \sqrt{(-\frac{22}{5})^2}\] \[d = \sqrt{\frac{484}{25}}\] \[d = \frac{22}{5}\]

Расстояние между точками A и B равно \(\frac{22}{5}\) или 4.4.

Ответ: а) \(\sqrt{173}\), б) \(\frac{22}{5}\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!