Найдите разность периодических дробей: 5,2991(53) – 2,07(53) = ?

Решение:

Переведём периодические дроби в обыкновенные.

1. \( 5,2991(53) = 5 + \frac{2991 - 29}{10000 - 100} = 5 + \frac{2962}{9900} = 5 + \frac{1481}{4950} = \frac{5 \cdot 4950 + 1481}{4950} = \frac{24750 + 1481}{4950} = \frac{26231}{4950} \)
2. \( 2,07(53) = 2 + \frac{0753 - 07}{10000 - 100} = 2 + \frac{746}{9900} = 2 + \frac{373}{4950} = \frac{2 \cdot 4950 + 373}{4950} = \frac{9900 + 373}{4950} = \frac{10273}{4950} \)
3. Теперь найдём разность:

\[ \frac{26231}{4950} - \frac{10273}{4950} = \frac{26231 - 10273}{4950} = \frac{15958}{4950} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

\[ \frac{15958}{4950} = \frac{7979}{2475} \]

Переведём полученную обыкновенную дробь обратно в десятичную:

\[ \frac{7979}{2475} \approx 3,2238 \]

Для более точного ответа, можно выполнить вычитание в виде десятичных дробей:

\[ 5,29915353... - 2,07535353... = 3,22380000... \]

Ответ можно представить в виде периодической десятичной дроби.

\( 5,2991\bar{53} = 5 + \frac{2991}{1000} + \frac{53}{99000} = 5 + \frac{2991 \times 99 + 53}{99000} = 5 + \frac{296109 + 53}{99000} = 5 + \frac{296162}{99000} \)

\( 2,07\bar{53} = 2 + \frac{07}{100} + \frac{53}{99000} = 2 + \frac{7}{100} + \frac{53}{99000} = 2 + \frac{7 \times 990 + 53}{99000} = 2 + \frac{6930 + 53}{99000} = 2 + \frac{6983}{99000} \)

\[ 5 + \frac{296162}{99000} - (2 + \frac{6983}{99000}) = 3 + \frac{296162 - 6983}{99000} = 3 + \frac{289179}{99000} \]

Сократим дробь \( \frac{289179}{99000} \) на 3:

\[ 3 + \frac{96393}{33000} \]

Сократим еще на 3:

\[ 3 + \frac{32131}{11000} \]

Выполним деление \( 32131 \div 11000 = 2 \) с остатком \( 10131 \). Таким образом:

\[ 3 + 2 \frac{10131}{11000} = 5 \frac{10131}{11000} \]

Переведём полученную дробь в десятичную:

\[ 5 + \frac{10131}{11000} \]

\( 10131 \div 11000 ");

\( 5,2991\bar{53} - 2,07\bar{53} = 5,29915353... - 2,07535353... \)

\( = 3,22380000... \)

\( 3,2238\bar{0} \)

Переведём \( 5,2991(53) \) в обыкновенную дробь:

\[ 5,2991(53) = 5 + \frac{299153 - 2991}{990000} = 5 + \frac{296162}{990000} = 5 + \frac{148081}{495000} = \frac{5 \times 495000 + 148081}{495000} = \frac{2475000 + 148081}{495000} = \frac{2623081}{495000} \]

Переведём \( 2,07(53) \) в обыкновенную дробь:

\[ 2,07(53) = 2 + \frac{0753 - 07}{9900} = 2 + \frac{746}{9900} = 2 + \frac{373}{4950} = \frac{2 \times 4950 + 373}{4950} = \frac{9900 + 373}{4950} = \frac{10273}{4950} = \frac{10273 \times 100}{4950 \times 100} = \frac{1027300}{495000} \]

Найдем разность:

\[ \frac{2623081}{495000} - \frac{1027300}{495000} = \frac{2623081 - 1027300}{495000} = \frac{1595781}{495000} \]

Разделим числитель и знаменатель на 3:

\[ \frac{1595781 ÷ 3}{495000 ÷ 3} = \frac{531927}{165000} \]

Разделим на 3:

\[ \frac{531927 ÷ 3}{165000 ÷ 3} = \frac{177309}{55000} \]

Переведём в десятичную дробь:

\[ \frac{177309}{55000} ÷ 55000 = 3,2238 \]

Ответ: 3,2238