Найдите решение дифференциального уравнения y' = xy

Question

Вопрос:

Найдите решение дифференциального уравнения y' = xy

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Его можно записать в виде:

\(\frac{dy}{dx}\) = xy

Разделим переменные:

\(\frac{dy}{y}\) = x dx

Проинтегрируем обе части уравнения:

\(\int\) \(\frac{dy}{y}\) = \(\int\) x dx

Получим:

\(\ln\)|y| = \(\frac{x^2}{2}\) + C

где C — произвольная постоянная.

Чтобы найти y, проэкспоненцируем обе части:

|y| = e^{\(\frac{x^2}{2}\) + C}

|y| = e^C \(\cdot\) e^{\(\frac{x^2}{2}\)}

Обозначим \( e^C \) как новую произвольную постоянную \( c \) (так как \( e^C > 0 \), то \( c > 0 \)).

|y| = c \(\cdot\) e^{\(\frac{x^2}{2}\)}

Если учесть, что \( y \) может быть как положительным, так и отрицательным, а также может быть равно нулю (что является решением исходного уравнения, если подставить \( y=0 \) и \( y'=0 \)), то произвольную постоянную можно обозначить как \( c \) без ограничения знака.

y = c \(\cdot\) e^{\(\frac{x^2}{2}\)}

Проверим полученное решение:

Пусть \( y = c \cdot e^{\frac{x^2}{2}} \). Тогда \( y' = c \cdot e^{\frac{x^2}{2}} \) (производная от \( e^{\frac{x^2}{2}} \) равна \( e^{\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{2x}{2} = x e^{\frac{x^2}{2}} \)).

Подставим в исходное уравнение:

c \(\cdot\) e^{\(\frac{x^2}{2}\)} \(\cdot\) x = x \(\cdot\) \(c \cdot e^{\frac{x^2}{2}}\)

x y = x y

Равенство выполняется.

Ответ: y = c \(\cdot\) e^{\(\frac{x^2}{2}\)}