Найдите решение уравнения (х2 + x) y'= (2x + 1), удовлетворяющее начальному условию у (1)=2 . В ответе укажите его значение при х = 5

Для решения данного уравнения необходимо разделить переменные:

$$ (x^2 + x) \frac{dy}{dx} = 2x + 1 $$

$$ dy = \frac{2x + 1}{x^2 + x} dx $$

Интегрируем обе части:

$$ \int dy = \int \frac{2x + 1}{x^2 + x} dx $$

$$ y = \int \frac{2x + 1}{x(x + 1)} dx $$

Для интегрирования дроби используем метод разложения на простые дроби:

$$ \frac{2x + 1}{x(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} $$

$$ 2x + 1 = A(x + 1) + Bx $$

При x = 0:

$$ 1 = A(0 + 1) + B(0) $$

$$ A = 1 $$

При x = -1:

$$ 2(-1) + 1 = A(-1 + 1) + B(-1) $$

$$ -1 = -B $$

$$ B = 1 $$

Таким образом:

$$ \frac{2x + 1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} $$

Теперь интегрируем:

$$ y = \int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}) dx $$

$$ y = \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x + 1} dx $$

$$ y = \ln|x| + \ln|x + 1| + C $$

$$ y = \ln|x(x + 1)| + C $$

Используем начальное условие y(1) = 2:

$$ 2 = \ln|1(1 + 1)| + C $$

$$ 2 = \ln(2) + C $$

$$ C = 2 - \ln(2) $$

Итак, решение уравнения:

$$ y = \ln|x(x + 1)| + 2 - \ln(2) $$

Теперь найдем значение y при x = 5:

$$ y(5) = \ln|5(5 + 1)| + 2 - \ln(2) $$

$$ y(5) = \ln(30) + 2 - \ln(2) $$

$$ y(5) = \ln(30) - \ln(2) + 2 $$

$$ y(5) = \ln(\frac{30}{2}) + 2 $$

$$ y(5) = \ln(15) + 2 $$

Ответ: ln(15) + 2