Найдите решение уравнения x³dy = 2(x - 1) dx, удовлетворяющее начальному условию у(1/2) = 0. В ответе укажите его значение при х = 1

Для решения данного дифференциального уравнения необходимо разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения.

1. Разделим переменные: $$dy = \frac{2(x-1)}{x^3} dx$$
2. Интегрируем обе части: $$\int dy = \int \frac{2(x-1)}{x^3} dx$$
3. Вычисляем интегралы:

Левая часть:

$$\int dy = y + C_1$$

Правая часть:

$$\int \frac{2(x-1)}{x^3} dx = 2 \int \frac{x-1}{x^3} dx = 2 \int (\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3}) dx = 2 (\int x^{-2} dx - \int x^{-3} dx)$$ $$\ = 2 (\frac{x^{-1}}{-1} - \frac{x^{-2}}{-2}) + C_2 = 2 (-\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2}) + C_2 = -\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} + C_2$$

4. Общее решение уравнения: $$y = -\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} + C$$
5. Используем начальное условие y(1/2) = 0 для нахождения константы C:

$$0 = -\frac{2}{1/2} + \frac{1}{(1/2)^2} + C = -4 + 4 + C$$ $$C = 0$$

6. Частное решение: $$y = -\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}$$
7. Находим значение y при x = 1:

$$y(1) = -\frac{2}{1} + \frac{1}{1^2} = -2 + 1 = -1$$

Ответ: -1