Найдите S ABCD.

Рассмотрим задачу на нахождение площади фигуры $$ABCD$$ для каждого из предложенных случаев. 1. На рисунке изображена трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$ и высотой $$AE$$. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot AE$$. Из рисунка видно, что $$BC = 8$$, $$AD = AE + ED$$, $$AE = 4$$, $$ED = 4$$. Следовательно, $$AD = 4 + 4 = 8$$. Тогда площадь трапеции равна $$S_{ABCD} = \frac{8 + 8}{2} \cdot 4 = \frac{16}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32$$. 2. На рисунке изображена трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$ и высотой $$DE$$. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot DE$$. Из рисунка видно, что $$AD = 12$$, $$DE = 12$$. Для нахождения $$BC$$ рассмотрим треугольник $$DBA$$. Используем теорему Пифагора: $$AB^2 = AD^2 + DB^2$$, следовательно $$DB = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$, тогда $$BC = 5$$. $$S_{ABCD} = \frac{5 + 12}{2} \cdot 12 = \frac{17}{2} \cdot 12 = 17 \cdot 6 = 102$$. 3. На рисунке изображен ромб $$ABCD$$ с диагоналями $$AC$$ и $$BD$$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$$. Из рисунка видно, что угол $$\angle ADC = 150^{\circ}$$. Так как диагональ $$AC$$ делит угол ромба пополам, то $$\angle ADE = 75^{\circ}$$. Следовательно, угол $$\angle DAE = 15^{\circ}$$. Примем сторону ромба за $$a$$, тогда $$AE = a \cdot cos(15^{\circ}) = 8 \cdot cos(15^{\circ})$$, $$DE = a \cdot sin(15^{\circ}) = 8 \cdot sin(15^{\circ})$$. $$AC = 2 \cdot AE = 16 \cdot cos(15^{\circ})$$, $$BD = 2 \cdot DE = 16 \cdot sin(15^{\circ})$$. Тогда площадь ромба $$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (16 \cdot cos(15^{\circ})) \cdot (16 \cdot sin(15^{\circ})) = \frac{1}{2} \cdot 256 \cdot cos(15^{\circ}) \cdot sin(15^{\circ}) = 128 \cdot sin(30^{\circ}) = 128 \cdot \frac{1}{2} = 64$$. 4. На рисунке изображен параллелограмм $$ABCD$$. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию: $$S_{ABCD} = AD \cdot h$$. Проведем высоту $$CH$$ из вершины $$C$$ к основанию $$AD$$. $$S_{ABCD} = AD \cdot CH$$. По условию $$AD = 14$$, $$CD = 18$$, $$\angle ABC = 150^{\circ}$$, следовательно, $$\angle CDA = 30^{\circ}$$. В прямоугольном треугольнике $$CDH$$ катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы: $$CH = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$$. Тогда площадь параллелограмма $$S_{ABCD} = 14 \cdot 9 = 126$$.