Найдите $$S_{ABCD}$$. 1 $$AB = 10$$ D 6 C 4 A E B 2 B C 12 A M 20 D

Решение задачи 1:

Для начала найдем площадь прямоугольного треугольника $$ADE$$:

$$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot DE $$

Чтобы найти $$AE$$, рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AE^2 + BE^2$$.

Выразим $$BE$$ через $$AE$$. Так как $$AB = 10$$, то $$BE = AB - AE = 10 - AE$$. Тогда:

$$10^2 = AE^2 + 4^2$$

$$100 = AE^2 + 16$$

$$AE^2 = 100 - 16 = 84$$

$$AE = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$$

Площадь прямоугольного треугольника $$ADE$$:

$$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{21} \cdot 4 = 4\sqrt{21}$$

Площадь трапеции $$ABCD$$:

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2} (BC + AD) \cdot DE = \frac{1}{2}(6 + 10) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4 = 32$$

Решение задачи 2:

Найдем площадь прямоугольного треугольника ABM:

$$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot 12$$

Найдем катет $$AM$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AM^2 + BM^2$$

Пусть $$AM = x$$, тогда $$AD = AM + MD = x + 20$$.

Проведем высоту $$CH$$ к основанию $$AD$$ . Тогда $$CH = BM = 12$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHD$$.

Так как $$BC = HM$$ и трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, то $$AM = HD = x$$.

Тогда $$AD = AH + HD = HM + 2HD = BC + 2x$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHD$$. По теореме Пифагора:

$$CD^2 = CH^2 + HD^2$$.

$$CD^2 = 12^2 + x^2 = 144 + x^2$$

Рассмотрим прямоугольную трапецию $$MBCD$$. $$S_{MBCD} = \frac{1}{2} (BC + MD) \cdot BM = \frac{1}{2}(BC + 20) \cdot 12 = 6(BC+20)$$.

Площадь трапеции $$ABCD$$:

$$S_{ABCD} = \frac{1}{2} (BC + AD) \cdot BM = \frac{1}{2}(BC + BC + 2x) \cdot 12 = 6(2BC+2x) = 12(BC+x)$$

Так как $$MD=20$$, то $$AD = AM + MD$$

Предположим, что $$BC=12$$, то $$AD =20 + AM$$

Высота трапеции $$BM=12$$

Площадь трапеции вычисляется по формуле $$S = \frac{(a+b)h}{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$h$$ — высота.

Тогда $$S_{ABCD} = \frac{(12 + 20+AM)12}{2} =6(32+AM)$$.

Из рисунка видно, что $$AB$$ - это гипотенуза прямоугольного треугольника, поэтому $$AB > BM$$, значит, $$AB > 12$$, обозначим $$AB=13$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$.

Тогда по теореме Пифагора $$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{13^2 - 12^2}= \sqrt{169-144} = \sqrt{25} = 5$$

$$S_{ABCD} = 6(32+AM) = 6(32+5) = 6 \cdot 37 = 222$$

Ответ: 222