1. Найдите седьмой член и сумму первых семи членов арифметической прогрессии (а), если а₁ = 5, 4, = 11. 2. Найдите шестой член и сумму первых шести членов геометрической прогрессии (6), если 4= 1 8 ид = 2. 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -6, 1, -.....

Решение задания 1:

Для начала определим разность арифметической прогрессии (d). Известно, что $$a_2 = a_1 + d$$, где $$a_1 = 5$$ и $$a_2 = 11$$.

Таким образом, $$d = a_2 - a_1 = 11 - 5 = 6$$

Теперь найдем седьмой член арифметической прогрессии ($$a_7$$). Формула для n-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

Подставим $$n = 7$$:

$$a_7 = 5 + (7-1) \cdot 6 = 5 + 6 \cdot 6 = 5 + 36 = 41$$

Далее найдем сумму первых семи членов ($$S_7$$). Формула для суммы n первых членов арифметической прогрессии:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Подставим $$n = 7$$:

$$S_7 = \frac{7(5 + 41)}{2} = \frac{7 \cdot 46}{2} = 7 \cdot 23 = 161$$

Ответ: Седьмой член прогрессии равен 41, сумма первых семи членов равна 161.

---

Решение задания 2:

Дано: первый член геометрической прогрессии $$b_1 = \frac{1}{8}$$ и знаменатель $$q = 2$$.

Найдем шестой член геометрической прогрессии ($$b_6$$). Формула для n-го члена геометрической прогрессии:

$$b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}$$

Подставим $$n = 6$$:

$$b_6 = \frac{1}{8} \cdot 2^{(6-1)} = \frac{1}{8} \cdot 2^5 = \frac{1}{8} \cdot 32 = 4$$

Теперь найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии ($$S_6$$). Формула для суммы n первых членов геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

Подставим $$n = 6$$:

$$S_6 = \frac{\frac{1}{8}(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{8}(64 - 1)}{1} = \frac{1}{8} \cdot 63 = \frac{63}{8} = 7.875$$

Ответ: Шестой член прогрессии равен 4, сумма первых шести членов равна 7.875.

---

Решение задания 3:

Дана геометрическая прогрессия: -6, 1, -1/6, ...

Найдем знаменатель этой прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$$

Теперь найдем сумму бесконечной геометрической прогрессии (S). Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии, когда |q| < 1:

$$S = \frac{b_1}{1 - q}$$

Подставим значения:

$$S = \frac{-6}{1 - (-\frac{1}{6})} = \frac{-6}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{-6}{\frac{7}{6}} = -6 \cdot \frac{6}{7} = -\frac{36}{7}$$

Ответ: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна -36/7.