Найдите шестизначное число, кратное 36, в десятичной записи которого присутствуют только цифры 1 и 2. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число было кратно 36, оно должно быть кратно 4 и 9 одновременно (так как 36 = 4 * 9, и 4 и 9 взаимно просты).

Признак делимости на 4: последняя пара цифр числа должна делиться на 4. Так как в числе могут быть только 1 и 2, возможные окончания:

• ...12
• ...22 (не делится на 4)
• ...11 (не делится на 4)
• ...21 (не делится на 4)

Таким образом, число должно заканчиваться на 12.

Признак делимости на 9: сумма всех цифр числа должна делиться на 9. В нашем шестизначном числе могут быть только цифры 1 и 2. Пусть в числе будет k двоек. Тогда количество единиц будет 6 - k. Сумма цифр будет: \( 2k + 1(6-k) \). Эта сумма должна делиться на 9.

• Если \( k=0 \), сумма = \( 6 \).
• Если \( k=1 \), сумма = \( 2+5 = 7 \).
• Если \( k=2 \), сумма = \( 4+4 = 8 \).
• Если \( k=3 \), сумма = \( 6+3 = 9 \). Это возможно.
• Если \( k=4 \), сумма = \( 8+2 = 10 \).
• Если \( k=5 \), сумма = \( 10+1 = 11 \).
• Если \( k=6 \), сумма = \( 12 \).

Значит, в числе должно быть 3 двойки и 3 единицы. Сумма цифр равна 9.

Теперь нам нужно составить шестизначное число из трёх единиц и трёх двоек, которое заканчивается на 12 и делится на 9. Число должно быть кратно 4 (заканчивается на 12) и кратно 9 (сумма цифр равна 9).

Попробуем составить такое число. Нам нужно 3 единицы и 3 двойки. Окончание — 12. Оставшиеся цифры: две единицы и одна двойка. Их можно расположить перед 12.

Возможные варианты: 112112, 121112, 211112.

Проверим их:

• 112112: Сумма цифр = 1+1+2+1+1+2 = 9 (делится на 9). Оканчивается на 12 (делится на 4). Значит, 112112 кратно 36.

Можно было бы искать и другие варианты, но по условию достаточно указать одно такое число.

Ответ: 112112