Найдите шестнадцатый член и сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии ап, если a₁ = 10 и a2 = 6. 2. Найдите шестой член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии bₙ, если b₁ = -64, а знаменатель q= 1 2 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -125, 25, -5, .... 4. Найдите номер члена арифметической прогрессии an, равного 10,9, если а₁ = 8,5, а разность прогрессии d = 0,3. 5. Какие два числа надо вставить между числами 2,5 и 20, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

1. Арифметическая прогрессия

• Дано: a₁ = 10, a₂ = 6
• Найти: a₁₆, S₃₀

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем разность арифметической прогрессии: \( d = a₂ - a₁ = 6 - 10 = -4 \).
2. Шаг 2: Найдем шестнадцатый член: \( a₁₆ = a₁ + 15d = 10 + 15 \cdot (-4) = 10 - 60 = -50 \).
3. Шаг 3: Найдем сумму тридцати первых членов: \( S₃₀ = \frac{2a₁ + 29d}{2} \cdot 30 = \frac{2 \cdot 10 + 29 \cdot (-4)}{2} \cdot 30 = (10 - 58) \cdot 15 = -48 \cdot 15 = -720 \).

Ответ: a₁₆ = -50, S₃₀ = -720

2. Геометрическая прогрессия

• Дано: b₁ = -64, q = 1/2
• Найти: b₆, S₅

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем шестой член: \( b₆ = b₁ \cdot q⁵ = -64 \cdot (\frac{1}{2})⁵ = -64 \cdot \frac{1}{32} = -2 \).
2. Шаг 2: Найдем сумму пяти первых членов: \( S₅ = \frac{b₁(1 - q⁵)}{1 - q} = \frac{-64(1 - (\frac{1}{2})⁵)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-64(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = -128 \cdot (1 - \frac{1}{32}) = -128 \cdot \frac{31}{32} = -4 \cdot 31 = -124 \).

Ответ: b₆ = -2, S₅ = -124

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

• Дано: -125, 25, -5, ...
• Найти: S

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем знаменатель геометрической прогрессии: \( q = \frac{25}{-125} = -\frac{1}{5} \).
2. Шаг 2: Найдем сумму: \( S = \frac{b₁}{1 - q} = \frac{-125}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{-125}{\frac{6}{5}} = -125 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{625}{6} \).

Ответ: S = -625/6

4. Номер члена арифметической прогрессии

• Дано: aₙ = 10.9, a₁ = 8.5, d = 0.3
• Найти: n

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \( aₙ = a₁ + (n - 1)d \).
2. Шаг 2: Подставим известные значения и найдем n: \( 10.9 = 8.5 + (n - 1)0.3 \).
3. Шаг 3: Решим уравнение: \( 10.9 - 8.5 = (n - 1)0.3 \), \( 2.4 = (n - 1)0.3 \), \( n - 1 = \frac{2.4}{0.3} = 8 \), \( n = 9 \).

Ответ: n = 9

5. Вставить два числа между 2,5 и 20

• Дано: 2.5, ..., ..., 20

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть 2.5, x, y, 20 - геометрическая прогрессия.
2. Шаг 2: Тогда \( \frac{x}{2.5} = \frac{y}{x} = \frac{20}{y} = q \).
3. Шаг 3: Значит, \( x = 2.5q, y = xq = 2.5q², 20 = yq = 2.5q³ \).
4. Шаг 4: Отсюда \( q³ = \frac{20}{2.5} = 8 \), следовательно, \( q = 2 \).
5. Шаг 5: Тогда \( x = 2.5 \cdot 2 = 5, y = 5 \cdot 2 = 10 \).

Ответ: 5 и 10