1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (вп), если в₁ = 0,81 и д = 1/3. 2. Первый член геометрической прогрессии (вд) равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии. 3. Между числами 4/49 и 196 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию. 4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (вд) с положительными членами, зная, что в₂ = 1,2 и 64 = 4,8. 5. Найдите первый член геометрической прогрессии (ад), в которой q=-2, S5 = 330.

Вариант 2

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии

Дано: \(b_1 = 0{,}81\), \(q = \frac{1}{3}\). Найти: \(b_6\)

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)

Тогда: \(b_6 = 0{,}81 \cdot (\frac{1}{3})^{6-1} = 0{,}81 \cdot (\frac{1}{3})^5 = 0{,}81 \cdot \frac{1}{243} = \frac{0{,}81}{243} = \frac{81}{24300} = \frac{1}{300} = 0{,}00333...\)

Ответ: 0,00333...

2. Найдите сумму семи первых членов прогрессии

Дано: \(b_1 = 6\), \(q = 2\). Найти: \(S_7\)

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии: \(S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\)

Тогда: \(S_7 = \frac{6(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{6(128 - 1)}{1} = 6 \cdot 127 = 762\)

Ответ: 762

3. Вставьте три числа между 4/49 и 196

Дано: \(b_1 = \frac{4}{49}\), \(b_5 = 196\). Найти: \(b_2, b_3, b_4\)

Используем формулу n-го члена: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)

Тогда: \(b_5 = b_1 \cdot q^4\) => \(196 = \frac{4}{49} \cdot q^4\) => \(q^4 = 196 \cdot \frac{49}{4} = 49 \cdot 49 = 49^2\)

Значит, \(q = \sqrt[4]{49^2} = \sqrt{49} = 7\)

Теперь найдем недостающие члены:

• \(b_2 = b_1 \cdot q = \frac{4}{49} \cdot 7 = \frac{4}{7}\)
• \(b_3 = b_2 \cdot q = \frac{4}{7} \cdot 7 = 4\)
• \(b_4 = b_3 \cdot q = 4 \cdot 7 = 28\)

Ответ: \(\frac{4}{7}, 4, 28\)

4. Найдите сумму восьми первых членов прогрессии

Дано: \(b_2 = 1{,}2\), \(b_4 = 4{,}8\). Найти: \(S_8\)

Имеем: \(b_2 = b_1 \cdot q = 1{,}2\) и \(b_4 = b_1 \cdot q^3 = 4{,}8\)

Разделим второе уравнение на первое: \(\frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = \frac{4{,}8}{1{,}2}\) => \(q^2 = 4\) => \(q = 2\) (т.к. члены положительные)

Теперь найдем \(b_1\): \(b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{1{,}2}{2} = 0{,}6\)

Используем формулу суммы: \(S_8 = \frac{0{,}6(2^8 - 1)}{2 - 1} = 0{,}6 \cdot (256 - 1) = 0{,}6 \cdot 255 = 153\)

Ответ: 153

5. Найдите первый член геометрической прогрессии

Дано: \(q = -2\), \(S_5 = 330\). Найти: \(a_1\)

Формула суммы n первых членов: \(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)

Тогда: \(330 = \frac{a_1(1 - (-2)^5)}{1 - (-2)} = \frac{a_1(1 - (-32))}{3} = \frac{a_1 \cdot 33}{3} = 11a_1\)

Значит, \(a_1 = \frac{330}{11} = 30\)

Ответ: 30