628. Найдите шестой и п-й члены геометрической прогрессии: a) 48; 12; ... ; 6) 64/9; -32/3; ... ; в) -0,001; -0,01; ... ; г) -100; 10; ....

Решение задания 628

Рассмотрим каждый случай геометрической прогрессии по отдельности.

a) 48; 12; ...

Найдем знаменатель прогрессии (q):

\[q = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}\]

Теперь найдем шестой член прогрессии (b₆):

\[b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = 48 \cdot (\frac{1}{4})^5 = 48 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{48}{1024} = \frac{3}{64}\]

Теперь найдем n-й член прогрессии (bₙ):

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 48 \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}\]

б) 64/9; -32/3; ...

Найдем знаменатель прогрессии (q):

\[q = \frac{-\frac{32}{3}}{\frac{64}{9}} = -\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{64} = -\frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 64} = -\frac{3 \cdot 1}{1 \cdot 2} = -\frac{3}{2}\]

Теперь найдем шестой член прогрессии (b₆):

\[b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^5 = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{243}{32}) = -\frac{64 \cdot 243}{9 \cdot 32} = -\frac{2 \cdot 27}{1 \cdot 1} = -54\]

Теперь найдем n-й член прогрессии (bₙ):

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{64}{9} \cdot (-\frac{3}{2})^{n-1}\]

в) -0,001; -0,01; ...

Найдем знаменатель прогрессии (q):

\[q = \frac{-0.01}{-0.001} = 10\]

Теперь найдем шестой член прогрессии (b₆):

\[b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = -0.001 \cdot (10)^5 = -0.001 \cdot 100000 = -100\]

Теперь найдем n-й член прогрессии (bₙ):

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -0.001 \cdot (10)^{n-1}\]

г) -100; 10; ...

Найдем знаменатель прогрессии (q):

\[q = \frac{10}{-100} = -\frac{1}{10} = -0.1\]

Теперь найдем шестой член прогрессии (b₆):

\[b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = -100 \cdot (-\frac{1}{10})^5 = -100 \cdot (-\frac{1}{100000}) = \frac{100}{100000} = \frac{1}{1000} = 0.001\]

Теперь найдем n-й член прогрессии (bₙ):

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = -100 \cdot (-\frac{1}{10})^{n-1}\]

Ответ: a) b₆=3/64, bₙ = 48*(1/4)^(n-1); б) b₆=-54, bₙ = 64/9*(-3/2)^(n-1); в) b₆=-100, bₙ = -0.001*(10)^(n-1); г) b₆=0.001, bₙ = -100*(-1/10)^(n-1)