594. Найдите шестой и п-й члены геометрической прогрессии: а) 48; 12; ... ; б) -40; -20; ... ; в) -0,001; −0,01; ... ; г) –100; 10; ... ; 6) 64/9; -32/3; ... ;

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. а) 48; 12; ... ;

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$$

Первый член прогрессии $$b_1 = 48$$.

Общий член геометрической прогрессии имеет вид: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$.

Найдем шестой член прогрессии:

$$b_6 = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{6-1} = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 = 48 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{48}{1024} = \frac{3}{64}$$

Найдем n-й член прогрессии:

$$b_n = 48 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} = 48 \cdot \frac{1}{4^{n-1}} = \frac{48}{4^{n-1}}$$

Ответ: $$b_6 = \frac{3}{64}$$, $$b_n = \frac{48}{4^{n-1}}$$.

2. б) -40; -20; ... ;

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2}$$

Первый член прогрессии $$b_1 = -40$$.

Найдем шестой член прогрессии:

$$b_6 = -40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1} = -40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = -40 \cdot \frac{1}{32} = -\frac{40}{32} = -\frac{5}{4} = -1.25$$

Найдем n-й член прогрессии:

$$b_n = -40 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = -40 \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = -\frac{40}{2^{n-1}}$$

Ответ: $$b_6 = -1.25$$, $$b_n = -\frac{40}{2^{n-1}}$$.

3. в) -0,001; −0,01; ... ;

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{-0.01}{-0.001} = 10$$

Первый член прогрессии $$b_1 = -0.001$$.

Найдем шестой член прогрессии:

$$b_6 = -0.001 \cdot (10)^{6-1} = -0.001 \cdot (10)^5 = -0.001 \cdot 100000 = -100$$

Найдем n-й член прогрессии:

$$b_n = -0.001 \cdot (10)^{n-1}$$

Ответ: $$b_6 = -100$$, $$b_n = -0.001 \cdot (10)^{n-1}$$.

4. г) –100; 10; ... ;

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{10}{-100} = -\frac{1}{10} = -0.1$$

Первый член прогрессии $$b_1 = -100$$.

Найдем шестой член прогрессии:

$$b_6 = -100 \cdot (-0.1)^{6-1} = -100 \cdot (-0.1)^5 = -100 \cdot (-0.00001) = 0.001$$

Найдем n-й член прогрессии:

$$b_n = -100 \cdot (-0.1)^{n-1}$$

Ответ: $$b_6 = 0.001$$, $$b_n = -100 \cdot (-0.1)^{n-1}$$.

5. 6) 64/9; -32/3; ... ;

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{-32/3}{64/9} = \frac{-32}{3} \cdot \frac{9}{64} = -\frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 64} = -\frac{3}{2}$$

Первый член прогрессии $$b_1 = \frac{64}{9}$$.

Найдем шестой член прогрессии:

$$b_6 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{6-1} = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{243}{32}\right) = \frac{64 \cdot (-243)}{9 \cdot 32} = -\frac{2 \cdot 27}{1 \cdot 1} = -54$$

Найдем n-й член прогрессии:

$$b_n = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$$

Ответ: $$b_6 = -54$$, $$b_n = \frac{64}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^{n-1}$$.