Найдите \(\sin 2\alpha\), если \(\cos\alpha=\sqrt{\frac{17}{18}}\), \(\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right)\).

Так как \(\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right)\), угол находится в IV четверти, поэтому \(\sin\alpha<0\).

\[\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{17}{18}=\frac{1}{18},\]

\[\sin\alpha=-\sqrt{\frac{1}{18}}.\]

Используем формулу двойного угла:

\[\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\left(-\sqrt{\frac{1}{18}}\right)\sqrt{\frac{17}{18}}=-\frac{\sqrt{17}}{9}.\]

Ответ: \(-\frac{\sqrt{17}}{9}\).