Найдите sin 2a, если cos a = - √15 / 4, a ∈ (π; 3π/2).

Дано:

• \[ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4} \]
• \[ \alpha \in \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right) \]

Найти:

• \[ \sin 2\alpha \]

Решение:

Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

Нам известно значение $$\cos \alpha$$. Теперь найдем значение $$\sin \alpha$$. Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Подставим значение $$\cos \alpha$$: \[ \sin^2 \alpha + \left( -\frac{\sqrt{15}}{4} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{15}{16} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{15}{16} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{1}{16} \] \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{16}} \] \[ \sin \alpha = \pm \frac{1}{4} \]

Теперь определим знак $$\sin \alpha$$. Угол \[ \alpha \in \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right) \] находится в третьем квадранте. В третьем квадранте синус отрицателен.

Следовательно, \[ \sin \alpha = -\frac{1}{4} \]

Теперь подставим значения $$\sin \alpha$$ и $$\cos \alpha$$ в формулу двойного угла:

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \times \left( -\frac{1}{4} \right) \times \left( -\frac{\sqrt{15}}{4} \right) \] \[ \sin 2\alpha = 2 \times \frac{\sqrt{15}}{16} \] \[ \sin 2\alpha = \frac{2\sqrt{15}}{16} \] \[ \sin 2\alpha = \frac{\sqrt{15}}{8} \]

Ответ: \[ \frac{\sqrt{15}}{8} \]