Найдите sin 2a, если cos a = -sqrt(5)/sqrt(14), a ∈ (π/2; π).

Привет! Давай разберемся с этой задачей по математике.

Дано:

• \[ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} \]
• \[ \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \]

Найти:

• \[ \sin 2\alpha \]

Решение:

1. Найдем sin α. Мы знаем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим значение косинуса: \[ \sin^2 \alpha + \left( -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{5}{14} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{5}{14} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{14 - 5}{14} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{9}{14} \] Теперь извлечем корень: \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{14}} = \pm \frac{3}{\sqrt{14}} \] Поскольку угол α находится во второй четверти (от π/2 до π), синус там положительный. Значит: \[ \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{14}} \]
2. Найдем sin 2α, используя формулу синуса двойного угла: \[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \] Подставим найденные значения: \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{14}} \cdot \left( -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} \right) \] \[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{-3\sqrt{5}}{14} \] \[ \sin 2\alpha = \frac{-6\sqrt{5}}{14} \] Сократим дробь: \[ \sin 2\alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7} \]

Ответ:

• \[ \sin 2\alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7} \]