Найдите sin 2a, если cosa = -5/√14, a ∈ (π/2; π).

Решение:

1. Найдём sin a, используя основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] \[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \] \[ \sin^2 a = 1 - \left(-\frac{5}{\sqrt{14}}\right)^2 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{25}{14} \] \[ \sin^2 a = \frac{14 - 25}{14} \] \[ \sin^2 a = -\frac{11}{14} \] Обнаружена ошибка в условии задачи: квадрат синуса не может быть отрицательным. Предположим, что в условии имелось в виду cos a = -5/sqrt(14) где sqrt(14) это корень из 14. Если это так, то: \[ \cos^2 a = \left(-\frac{5}{\sqrt{14}}\right)^2 = \frac{25}{14} \] Поскольку $${\cos^2 a} > 1$$, такое значение косинуса невозможно.
2. Предположим, что в условии была допущена опечатка, и $${\cos a = - \frac{5}{\sqrt{14}}}$$ означает $${\cos a = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} = -\sqrt{\frac{5}{14}}}$$. Тогда: \[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a \] \[ \sin^2 a = 1 - \left(-\sqrt{\frac{5}{14}}\right)^2 \] \[ \sin^2 a = 1 - \frac{5}{14} \] \[ \sin^2 a = \frac{14-5}{14} \] \[ \sin^2 a = \frac{9}{14} \] Так как $$a \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$$, то $$a$$ находится во второй четверти, где синус положителен. Следовательно: \[ \sin a = \sqrt{\frac{9}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \] Теперь найдём sin 2a: \[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a \] \[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{14}} \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}\right) \] \[ \sin 2a = -2 \cdot \frac{3\sqrt{5}}{14} \] \[ \sin 2a = -\frac{6\sqrt{5}}{14} \] \[ \sin 2a = -\frac{3\sqrt{5}}{7} \]

Ответ: -3√5/7