Найдите sin 2а, если sin a = -15/17, αε(3π/2; 2π).

Чтобы найти sin(2α), воспользуемся формулой двойного угла:

• \[ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \]

Нам известно значение sin(α), но нужно найти cos(α).

Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

• \[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]

Подставим известное значение sin(α):

• \[ \left(-\frac{15}{17}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \]

\[ \frac{225}{289} + \cos^2(\alpha) = 1 \]

\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{225}{289} \]

\[ \cos^2(\alpha) = \frac{289 - 225}{289} \]

\[ \cos^2(\alpha) = \frac{64}{289} \]

Извлечем квадратный корень:

• \[ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17} \]

Теперь определим знак cos(α). По условию, α принадлежит промежутку (3π/2; 2π). Этот промежуток соответствует четвертому квадранту.

В четвертом квадранте косинус положителен, а синус отрицателен. Так как sin(α) = -15/17 (отрицательное значение), а α находится в четвертом квадранте, то cos(α) должен быть положительным.

• \[ \cos(\alpha) = \frac{8}{17} \]

Теперь, когда у нас есть значения sin(α) и cos(α), мы можем найти sin(2α):

• \[ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \]

• \[ \sin(2\alpha) = 2 \times \left(-\frac{15}{17}\right) \times \left(\frac{8}{17}\right) \]

\[ \sin(2\alpha) = 2 \times \left(-\frac{15 \times 8}{17 \times 17}\right) \]

\[ \sin(2\alpha) = 2 \times \left(-\frac{120}{289}\right) \]

\[ \sin(2\alpha) = -\frac{240}{289} \]

Ответ: -240/289