697 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) BC=8, AB=17; 6) BC=21. АС = 20; в) ВС = 1, AC = 2; г) АС = 24, AB = 25.

Решение

Давай разберем по порядку, как найти синус, косинус и тангенс углов А и В для каждого случая.

а) BC = 8, AB = 17

1. Найдем AC:

   По теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²

   AC² = AB² - BC² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225

   AC = √225 = 15

2. Определим тригонометрические функции для угла A:

   sin(A) = BC / AB = 8 / 17

   cos(A) = AC / AB = 15 / 17

   tg(A) = BC / AC = 8 / 15

3. Определим тригонометрические функции для угла B:

   sin(B) = AC / AB = 15 / 17

   cos(B) = BC / AB = 8 / 17

   tg(B) = AC / BC = 15 / 8

Ответ:

• sin(A) = 8/17, cos(A) = 15/17, tg(A) = 8/15
• sin(B) = 15/17, cos(B) = 8/17, tg(B) = 15/8

б) BC = 21, AC = 20

1. Найдем AB:

   По теореме Пифагора: AB² = AC² + BC² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841

   AB = √841 = 29

2. Определим тригонометрические функции для угла A:

   sin(A) = BC / AB = 21 / 29

   cos(A) = AC / AB = 20 / 29

   tg(A) = BC / AC = 21 / 20

3. Определим тригонометрические функции для угла B:

   sin(B) = AC / AB = 20 / 29

   cos(B) = BC / AB = 21 / 29

   tg(B) = AC / BC = 20 / 21

Ответ:

• sin(A) = 21/29, cos(A) = 20/29, tg(A) = 21/20
• sin(B) = 20/29, cos(B) = 21/29, tg(B) = 20/21

в) BC = 1, AC = 2

1. Найдем AB:

   По теореме Пифагора: AB² = AC² + BC² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

   AB = √5

2. Определим тригонометрические функции для угла A:

   sin(A) = BC / AB = 1 / √5 = √5 / 5

   cos(A) = AC / AB = 2 / √5 = 2√5 / 5

   tg(A) = BC / AC = 1 / 2

3. Определим тригонометрические функции для угла B:

   sin(B) = AC / AB = 2 / √5 = 2√5 / 5

   cos(B) = BC / AB = 1 / √5 = √5 / 5

   tg(B) = AC / BC = 2 / 1 = 2

Ответ:

• sin(A) = √5 / 5, cos(A) = 2√5 / 5, tg(A) = 1/2
• sin(B) = 2√5 / 5, cos(B) = √5 / 5, tg(B) = 2

г) AC = 24, AB = 25

1. Найдем BC:

   По теореме Пифагора: BC² = AB² - AC² = 25² - 24² = 625 - 576 = 49

   BC = √49 = 7

2. Определим тригонометрические функции для угла A:

   sin(A) = BC / AB = 7 / 25

   cos(A) = AC / AB = 24 / 25

   tg(A) = BC / AC = 7 / 24

3. Определим тригонометрические функции для угла B:

   sin(B) = AC / AB = 24 / 25

   cos(B) = BC / AB = 7 / 25

   tg(B) = AC / BC = 24 / 7

Ответ:

• sin(A) = 7/25, cos(A) = 24/25, tg(A) = 7/24
• sin(B) = 24/25, cos(B) = 7/25, tg(B) = 24/7

Молодец! Теперь ты умеешь находить тригонометрические функции углов в прямоугольном треугольнике. Продолжай в том же духе, и все получится!