Найдите синус, косинус и тангенс острого угла ром- ба, если его периметр равен 52 см, а площадь — 156 см².

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\)

1. Шаг 1: Находим сторону ромба.

   Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон, а так как все стороны ромба равны, то сторона ромба равна периметру, деленному на 4:

   \[a = \frac{P}{4} = \frac{52}{4} = 13 \text{ см}\]

2. Шаг 2: Находим высоту ромба.

   Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Отсюда находим высоту:

   \[h = \frac{S}{a} = \frac{156}{13} = 12 \text{ см}\]

3. Шаг 3: Находим синус острого угла ромба.

   Синус острого угла ромба равен отношению высоты к стороне:

   \[\sin \alpha = \frac{h}{a} = \frac{12}{13}\]

4. Шаг 4: Находим косинус острого угла ромба.

   Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Отсюда:

   \[\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\]

5. Шаг 5: Находим тангенс острого угла ромба.

   Тангенс острого угла ромба равен отношению синуса к косинусу:

   \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}\]

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\), \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\), \(\tan \alpha = \frac{12}{5}\)