4. Найдите синус, косинус, тангенс углов А и В прямоугольного треугольника АВС, если: а) АС = 4, AB = 5; 6) AC=15, ВС=8; в) ВС = 6√3, AB=9√2. 5. В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен в, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: а) b = 10, ∠B = 45°; 6) b=15, ∠B=60°; в) b =3√3, ∠B=30°.

Задание 4

а) Дано: AC = 4, AB = 5. Треугольник ABC прямоугольный, угол C = 90°.

Сначала найдем сторону BC по теореме Пифагора:

\[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\]

Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B:

• sin(A) = BC / AB = 3 / 5
• cos(A) = AC / AB = 4 / 5
• tan(A) = BC / AC = 3 / 4
• sin(B) = AC / AB = 4 / 5
• cos(B) = BC / AB = 3 / 5
• tan(B) = AC / BC = 4 / 3

б) Дано: AC = 15, BC = 8. Треугольник ABC прямоугольный, угол C = 90°.

Найдем сторону AB по теореме Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\]

Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B:

• sin(A) = BC / AB = 8 / 17
• cos(A) = AC / AB = 15 / 17
• tan(A) = BC / AC = 8 / 15
• sin(B) = AC / AB = 15 / 17
• cos(B) = BC / AB = 8 / 17
• tan(B) = AC / BC = 15 / 8

в) Дано: BC = 6√3, AB = 9√2. Треугольник ABC прямоугольный, угол C = 90°.

Найдем сторону AC по теореме Пифагора:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{162 - 108} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\]

Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B:

• sin(A) = BC / AB = (6√3) / (9√2) = (2√3) / (3√2) = (2√6) / 6 = √6 / 3
• cos(A) = AC / AB = (3√6) / (9√2) = √6 / (3√2) = √3 / 3
• tan(A) = BC / AC = (6√3) / (3√6) = 2√3 / √6 = 2 / √2 = √2
• sin(B) = AC / AB = (3√6) / (9√2) = √3 / 3
• cos(B) = BC / AB = (6√3) / (9√2) = √6 / 3
• tan(B) = AC / BC = (3√6) / (6√3) = √2 / 2

Задание 5

а) Дано: b = 10, ∠B = 45°. Треугольник ABC прямоугольный, угол C = 90°.

Если угол B = 45°, то угол A = 90° - 45° = 45°, значит, треугольник равнобедренный, и другой катет a = b = 10.

Гипотенузу найдем по теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\]

б) Дано: b = 15, ∠B = 60°. Треугольник ABC прямоугольный, угол C = 90°.

Тогда угол A = 90° - 60° = 30°.

Найдем другой катет a:

\[a = b \cdot cot(B) = 15 \cdot cot(60°) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}\]

Гипотенузу найдем по теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 + 15^2} = \sqrt{75 + 225} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}\]

в) Дано: b = 3√3, ∠B = 30°. Треугольник ABC прямоугольный, угол C = 90°.

Тогда угол A = 90° - 30° = 60°.

Найдем другой катет a:

\[a = b \cdot cot(B) = 3\sqrt{3} \cdot cot(30°) = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\]

Гипотенузу найдем по теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 27} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\]