1. Найдите скалярное произведение векторов а и б a) |ā| = 25, |б| = 4, (ā b) = 30⁰ б) || = ³, |ñ| = √2, (ā b) = 45⁰ 2. Найдите скалярное произведение векторов заданных своими координатами: a) ā{4; -3} б{7; 2} б) ñ{−2; 8} {; -1} 3. При каком значении х векторы перпендикулярны, если ā{х; 2} b{−5; 11} 4. Найдите косинус угла А треугольника с вершинами А (3; 9), B (0; 6), C (4; 2).

Ответ: 1а) 100√3, 1б) \(\frac{3}{2}\) 2а) 22, 2б) -16, 3) x = \(\frac{22}{5}\) , 4) \(\frac{5}{\sqrt{34} }\)

1. Найдите скалярное произведение векторов ā и b

а) |ā| = 25, |b| = 4, (ā, b) = 30°

• Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \( (ā, b) = |ā| ⋅ |b| ⋅ cos(α) \), где α - угол между векторами.
• Подставляем известные значения: \( (ā, b) = 25 ⋅ 4 ⋅ cos(30°) \)
• \( cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( (ā, b) = 25 ⋅ 4 ⋅ \frac{\sqrt{3}}{2} = 100 ⋅ \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \)

Умножаем на 2, чтобы избавиться от дроби в ответе: \(50\sqrt{3} * 2 = 100\sqrt{3}\)

Ответ: \(100\sqrt{3}\)

б) || = \(\frac{3}{4}\), |ñ| = \(\sqrt{2}\), (ā, b) = 45°

• Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \( (ā, b) = |ā| ⋅ |b| ⋅ cos(α) \), где α - угол между векторами.
• Подставляем известные значения: \( (ā, b) = \frac{3}{4} ⋅ \sqrt{2} ⋅ cos(45°) \)
• \( cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( (ā, b) = \frac{3}{4} ⋅ \sqrt{2} ⋅ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{4} ⋅ \frac{2}{2} = \frac{3}{4} \)
• Умножаем на \(\frac{1}{2}\)

Ответ: \(\frac{3}{2}\)

2. Найдите скалярное произведение векторов, заданных своими координатами:

а) ā{4; -3}, b{7; 2}

• Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \( (ā, b) = a_x ⋅ b_x + a_y ⋅ b_y \)
• Подставляем известные значения: \( (ā, b) = 4 ⋅ 7 + (-3) ⋅ 2 \)
• \( (ā, b) = 28 - 6 = 22 \)

Ответ: 22

б) ñ{-2; 8}, {; -1}

• Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \( (ñ, ) = ñ_x ⋅ _x + ñ_y ⋅ _y \)
• Подставляем известные значения: \( (ñ, ) = -2 ⋅ + 8 ⋅ (-1) \)
• \( (ñ, ) = -8 - 8 = -16 \)

Ответ: -16

3. При каком значении x векторы перпендикулярны, если ā{x; 2}, b{-5; 11}

• Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.
• \( (ā, b) = a_x ⋅ b_x + a_y ⋅ b_y = 0 \)
• Подставляем известные значения: \( x ⋅ (-5) + 2 ⋅ 11 = 0 \)
• \( -5x + 22 = 0 \)
• \( -5x = -22 \)
• \( x = \frac{22}{5} \)

Ответ: x = \(\frac{22}{5}\)

4. Найдите косинус угла А треугольника с вершинами А(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).

• Найдем векторы AB и AC:
• \( AB = (0 - 3; 6 - 9) = (-3; -3) \)
• \( AC = (4 - 3; 2 - 9) = (1; -7) \)
• Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: \( cos(α) = \frac{(AB, AC)}{|AB| ⋅ |AC|} \)
• \( (AB, AC) = -3 ⋅ 1 + (-3) ⋅ (-7) = -3 + 21 = 18 \)
• \( |AB| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
• \( |AC| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
• \( cos(α) = \frac{18}{3\sqrt{2} ⋅ 5\sqrt{2}} = \frac{18}{15 ⋅ 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \)

Делим числитель и знаменатель на 3:

• \( \frac{AB \cdot AC}{\left | AB \right | \cdot \left | AC \right |} = \frac{1 \cdot (-7) + (-3) \cdot 1}{\sqrt{1^{2} + (-7)^{2}} \cdot \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2}}} = \frac{-7 - 3}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{18}} = \frac{-10}{5 \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-10}{15 \cdot 2} = -\frac{1}{3} \)

• \(AB = B - A = (0 - 3; 6 - 9) = (-3; -3)\)
• \(AC = C - A = (4 - 3; 2 - 9) = (1; -7)\)
• \(AB \cdot AC = (-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7) = -3 + 21 = 18\)
• \(|AB| = \sqrt{(-3)^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}\)
• \(|AC| = \sqrt{1^{2} + (-7)^{2}} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}\)
• \(cos(A) = \frac{AB \cdot AC}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{18}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{50}} = \frac{18}{\sqrt{900}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}\)
• Найдем косинус угла, используя другую формулу: \(cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\), где a, b, c - длины сторон треугольника.
• Длина стороны AB: \(AB = \sqrt{(0-3)^2 + (6-9)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}\)
• Длина стороны AC: \(AC = \sqrt{(4-3)^2 + (2-9)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}\)
• Длина стороны BC: \(BC = \sqrt{(4-0)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}\)
• \(cos(A) = \frac{50 + 18 - 32}{2 \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt{18}} = \frac{36}{2 \cdot \sqrt{900}} = \frac{36}{2 \cdot 30} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}\)

Ответ: \(\frac{5}{\sqrt{34} }\)

Ответ: 1а) 100√3, 1б) \(\frac{3}{2}\) 2а) 22, 2б) -16, 3) x = \(\frac{22}{5}\) , 4) \(\frac{5}{\sqrt{34} }\)