Найдите, сколько сторон имеет правильный многоугольник, у которого отношение длины описанной окружности к стороне многоугольника равно 2π.

Дано:

• Правильный n-угольник.
• Длина описанной окружности (C_опис).
• Длина стороны многоугольника (a).
• \( \frac{C_{опис}}{a} = 2π \).

Найти: n (количество сторон).

Решение:

1. Длина описанной окружности равна \( C_{опис} = 2πR \), где R — радиус описанной окружности.
2. Для правильного n-угольника радиус описанной окружности связан с длиной стороны (a) соотношением: \( R = \frac{a}{2 × sin(\frac{180^\circ}{n})} \).
3. Подставим выражение для R в формулу длины окружности:
4. \( C_{опис} = 2π × \frac{a}{2 × sin(\frac{180^\circ}{n})} = \frac{π a}{sin(\frac{180^\circ}{n})} \).
5. Теперь подставим полученное выражение для \( C_{опис} \) в данное нам отношение:
6. \( \frac{\frac{π a}{sin(\frac{180^\circ}{n})}}{a} = 2π \)
7. Сокращаем 'a':
8. \( \frac{π}{sin(\frac{180^\circ}{n})} = 2π \)
9. Сокращаем \( π \):
10. \( \frac{1}{sin(\frac{180^\circ}{n})} = 2 \)
11. \( sin(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{1}{2} \)
12. Известно, что синус равен \( \frac{1}{2} \) при угле \( 30^\circ \).
13. Значит, \( \frac{180^\circ}{n} = 30^\circ \).
14. Находим n: \( n = \frac{180^\circ}{30^\circ} = 6 \).

Ответ: 6