6. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть скорость первого автомобиля равна \( v \) км/ч, а весь путь — \( S \) км.

Тогда время, которое затратил первый автомобиль: \( t_1 = \frac{S}{v} \).

Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью 51 км/ч, а вторую половину — со скоростью \( v + 34 \) км/ч.

Время, которое затратил второй автомобиль на первую половину пути: \( t_{21} = \frac{S}{2 \cdot 51} \).

Время, которое затратил второй автомобиль на вторую половину пути: \( t_{22} = \frac{S}{2 \cdot (v + 34)} \).

Суммарное время второго автомобиля: \( t_2 = t_{21} + t_{22} = \frac{S}{2 \cdot 51} + \frac{S}{2 \cdot (v + 34)} \).

Так как оба автомобиля прибыли в пункт B одновременно, то \( t_1 = t_2 \), то есть:

\[\frac{S}{v} = \frac{S}{2 \cdot 51} + \frac{S}{2 \cdot (v + 34)}\]

Сокращаем уравнение на \( S \):

\[\frac{1}{v} = \frac{1}{102} + \frac{1}{2(v + 34)}\]

Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{1}{v} = \frac{v + 34 + 51}{102(v + 34)}\]\[\frac{1}{v} = \frac{v + 85}{102(v + 34)}\]

Перемножаем крест-накрест:

\[102(v + 34) = v(v + 85)\]\[102v + 3468 = v^2 + 85v\]

Переносим все в одну сторону и получаем квадратное уравнение:

\[v^2 - 17v - 3468 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3468) = 289 + 13872 = 14161\]\[v_1 = \frac{17 + \sqrt{14161}}{2} = \frac{17 + 119}{2} = \frac{136}{2} = 68\]\[v_2 = \frac{17 - 119}{2} < 0 \quad (\text{не подходит, так как скорость не может быть отрицательной})\]

Следовательно, скорость первого автомобиля равна 68 км/ч.

Ответ: 68 км/ч