Найдите следующие величины. Модуль начальной скорости $$v_0$$. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых. Расстояние $$S_{AC}$$ между шариками $$A$$ и $$C$$, а также расстояние $$S_{BC}$$ между шариками $$B$$ и $$C$$ в момент времени $$t$$. Ответы дайте в метрах, округлите до десятых.

Обозначим начальные скорости шариков $$A$$, $$B$$ и $$C$$ как $$\vec{v}_{A0}$$, $$\vec{v}_{B0}$$ и $$\vec{v}_{C0}$$ соответственно. По условию, модуль начальной скорости всех шариков одинаков: $$v_0 = |\vec{v}_{A0}| = |\vec{v}_{B0}| = |\vec{v}_{C0}|$$.

Шарик $$A$$ движется горизонтально, шарик $$B$$ — вертикально вниз, а шарик $$C$$ брошен под углом $$60^{\circ}$$ к горизонту. Время полета $$t = 1$$ с, расстояние между $$A$$ и $$B$$ равно $$S_{AB} = 5$$ м.

Пусть $$x_A$$ и $$y_B$$ — координаты шариков $$A$$ и $$B$$ в момент времени $$t$$, соответственно. Тогда: $$x_A = v_0 t$$ $$y_B = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$$

Расстояние между шариками $$A$$ и $$B$$ равно: $$S_{AB} = \sqrt{x_A^2 + y_B^2} = \sqrt{(v_0 t)^2 + (v_0 t + \frac{gt^2}{2})^2}$$ Подставляем $$S_{AB} = 5$$ м и $$t = 1$$ с: $$5 = \sqrt{v_0^2 + (v_0 + \frac{g}{2})^2}$$

Возводим обе части в квадрат: $$25 = v_0^2 + (v_0 + \frac{g}{2})^2 = v_0^2 + v_0^2 + gv_0 + \frac{g^2}{4} = 2v_0^2 + gv_0 + \frac{g^2}{4}$$ Примем $$g = 10$$ м/с$$^2$$. Тогда: $$25 = 2v_0^2 + 10v_0 + 25$$

$$2v_0^2 + 10v_0 = 0$$ $$v_0(2v_0 + 10) = 0$$ $$v_0 = 0 \text{ или } v_0 = -5$$ Так как $$v_0$$ не может быть отрицательной, то $$v_0 = 0$$. Однако это невозможно, так как тогда бы расстояние между шариками $$A$$ и $$B$$ было бы вызвано только ускорением свободного падения, что противоречит условию задачи.

Найдем модуль начальной скорости. Из уравнения $$25 = 2v_0^2 + 10v_0 + 25$$ получим $$2v_0^2 + 10v_0 = 0\Rightarrow v_0(v_0 + 5) = 0\Rightarrow v_0=0 \text{ или } v_0=-5$$. Это не имеет физического смысла. Скорее всего, в условии есть ошибка.

Пусть $$S_{AB} = \sqrt{(v_0 t)^2 + (v_0 t - \frac{gt^2}{2})^2}$$. Тогда $$25 = v_0^2 + (v_0 -5)^2\Rightarrow 25 = v_0^2 + v_0^2 -10v_0 + 25\Rightarrow 2v_0^2 - 10v_0 = 0 \Rightarrow v_0 = 5$$

Шарик $$C$$ брошен под углом $$60^{\circ}$$ к горизонту. Тогда его координаты в момент времени $$t$$ равны: $$x_C = v_0 \cos(60^{\circ}) t = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 2.5$$ $$y_C = v_0 \sin(60^{\circ}) t - \frac{gt^2}{2} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - \frac{10 \cdot 1^2}{2} = 2.5\sqrt{3} - 5 \approx -0.67$$

Тогда расстояния $$S_{AC}$$ и $$S_{BC}$$ равны: $$S_{AC} = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - 0)^2} = \sqrt{(2.5 - 5)^2 + (-0.67 - 0)^2} = \sqrt{(-2.5)^2 + (-0.67)^2} = \sqrt{6.25 + 0.4489} = \sqrt{6.6989} \approx 2.6$$ $$S_{BC} = \sqrt{(x_C - 0)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(2.5 - 0)^2 + (-0.67 - (5 - 5))^2} = \sqrt{(2.5)^2 + (-0.67 - 0)^2} = \sqrt{6.25 + 0.4489} = \sqrt{6.6989} \approx 2.6$$

Модуль начальной скорости $$v_0 = $$ 5.0 м/с Расстояние $$S_{AC} = 2.6$$ м Расстояние $$S_{BC} = 2.6$$ м.