Найдите сороковой член арифметической прогрессии (аₙ), если a₁ = 38 и d = -3. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (аₙ), если a₁ = 1 и a₂ = 6. Является ли число 39 членом арифметической прогрессии (сₙ), в которой c₁ = -6 и c₉ = 6? Найдите сумму первых тридцати членов последовательности, заданной формулой bₙ = 3n - 1. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

Вариант 2

1. Задача 1: Найти сороковой член арифметической прогрессии.

• Дано: a₁ = 38, d = -3, n = 40
• Формула: aₙ = a₁ + (n - 1)d
• Решение: a₄₀ = 38 + (40 - 1) * (-3) = 38 + 39 * (-3) = 38 - 117 = -79

Ответ: -79

2. Задача 2: Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии.

• Дано: a₁ = 1, a₂ = 6, n = 20
• Находим разность: d = a₂ - a₁ = 6 - 1 = 5
• Формула суммы: Sₙ = (2a₁ + (n - 1)d) / 2 * n
• Решение: S₂₀ = (2 * 1 + (20 - 1) * 5) / 2 * 20 = (2 + 19 * 5) / 2 * 20 = (2 + 95) / 2 * 20 = 97 / 2 * 20 = 97 * 10 = 970

Ответ: 970

3. Задача 3: Является ли число 39 членом арифметической прогрессии.

• Дано: c₁ = -6, c₉ = 6, cₙ = 39
• Находим разность: c₉ = c₁ + 8d => 6 = -6 + 8d => 12 = 8d => d = 1.5
• Формула n-го члена: cₙ = c₁ + (n - 1)d
• Проверяем: 39 = -6 + (n - 1) * 1.5 => 45 = (n - 1) * 1.5 => 30 = n - 1 => n = 31

Ответ: Да, является 31-м членом прогрессии.

4. Задача 4: Найти сумму первых тридцати членов последовательности, заданной формулой bₙ = 3n - 1.

• Дано: bₙ = 3n - 1, n = 30
• Находим первый член: b₁ = 3 * 1 - 1 = 2
• Находим тридцатый член: b₃₀ = 3 * 30 - 1 = 89
• Формула суммы: Sₙ = (b₁ + bₙ) / 2 * n
• Решение: S₃₀ = (2 + 89) / 2 * 30 = 91 / 2 * 30 = 91 * 15 = 1365

Ответ: 1365

5. Задача 5: Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

• Первое число: 3
• Последнее число: 78 (так как 81 уже больше 80)
• Находим количество членов: 78 = 3 + (n - 1) * 3 => 75 = (n - 1) * 3 => 25 = n - 1 => n = 26
• Формула суммы: Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 * n
• Решение: S₂₆ = (3 + 78) / 2 * 26 = 81 / 2 * 26 = 81 * 13 = 1053

Ответ: 1053