Найдите сторону АС треугольника АВС, если угол А равен 45°, AB = 4√2, а скалярное произведение ABCA = -20. AC =

Для решения задачи воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\alpha}$$, где $$|\vec{a}|$$ и $$|\vec{b}|$$ - длины векторов, а $$\alpha$$ - угол между ними.

В нашем случае, $$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -20$$, угол между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CA}$$ равен 45°, а длина вектора $$AB = 4\sqrt{2}$$. Необходимо найти длину стороны AC, то есть $$|\vec{AC}|$$.

Так как $$\vec{CA} = - \vec{AC}$$, то $$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -(\vec{AB} \cdot \vec{AC})$$. Следовательно, $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 20$$.

Угол между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$ равен углу A, который равен 45°.

Тогда можем записать:

$$|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos{45°} = 20$$

$$4\sqrt{2} \cdot |\vec{AC}| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 20$$

$$4 \cdot |\vec{AC}| = 20$$

$$|\vec{AC}| = \frac{20}{4} = 5$$

Следовательно, сторона AC равна 5.

Ответ: 5