7. Найдите сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 9 см

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств равностороннего треугольника и теоремы Пифагора.

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны 60°.
2. Высота равностороннего треугольника также является медианой и биссектрисой.
3. Высота делит равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $$a$$, а высота равна $$h$$. Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной стороны и стороной равностороннего треугольника, выполняются следующие соотношения:

$$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$$

$$h^2 + \frac{a^2}{4} = a^2$$

$$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$$

$$h^2 = \frac{3a^2}{4}$$

$$a^2 = \frac{4h^2}{3}$$

$$a = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$$

Теперь подставим значение высоты $$h = 9 \text{ см}$$:

$$a = \frac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}}$$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{3}$$:

$$a = \frac{18 \sqrt{3}}{3} = 6 \sqrt{3}$$

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна $$6\sqrt{3}$$ см.

Ответ: $$6\sqrt{3}$$ см