13. Найдите сторону равностороннего треугольника, если высота равна 4 см. 14. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 16 см и 30 см. 15. В равнобедренном треугольнике основание 12 см, боковая сторона 8 см. Найдите медиану, проведенную к основанию.

13. Найдите сторону равностороннего треугольника, если высота равна 4 см.

Давай вспомним, что в равностороннем треугольнике все стороны равны, и высота, проведенная к любой из сторон, также является медианой и биссектрисой.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, а высота равна h. Тогда, высота делит основание пополам, и мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, высотой и стороной треугольника.

По теореме Пифагора:

\[(\frac{a}{2})^2 + h^2 = a^2\]

Подставим значение высоты h = 4 см:

\[(\frac{a}{2})^2 + 4^2 = a^2\] \[\frac{a^2}{4} + 16 = a^2\]

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[a^2 + 64 = 4a^2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[3a^2 = 64\]

Разделим обе части на 3:

\[a^2 = \frac{64}{3}\]

Извлечем квадратный корень:

\[a = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}\]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[a = \frac{8\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\) см

---

14. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 16 см и 30 см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, они образуют четыре прямоугольных треугольника, где катеты - это половины диагоналей, а гипотенуза - сторона ромба.

Пусть диагонали ромба равны d1 = 16 см и d2 = 30 см. Тогда, половина первой диагонали равна \(\frac{d1}{2} = 8\) см, а половина второй диагонали равна \(\frac{d2}{2} = 15\) см.

По теореме Пифагора, сторона ромба a равна:

\[a^2 = (\frac{d1}{2})^2 + (\frac{d2}{2})^2\] \[a^2 = 8^2 + 15^2\] \[a^2 = 64 + 225\] \[a^2 = 289\] \[a = \sqrt{289} = 17\]

Ответ: 17 см

---

15. В равнобедренном треугольнике основание 12 см, боковая сторона 8 см. Найдите медиану, проведенную к основанию.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой.

Пусть основание равно b = 12 см, боковая сторона равна a = 8 см, а медиана (высота) равна h. Медиана делит основание пополам, поэтому мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, высотой и боковой стороной.

По теореме Пифагора:

\[(\frac{b}{2})^2 + h^2 = a^2\]

Подставим известные значения:

\[(\frac{12}{2})^2 + h^2 = 8^2\] \[6^2 + h^2 = 64\] \[36 + h^2 = 64\] \[h^2 = 64 - 36\] \[h^2 = 28\] \[h = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}\]

Ответ: \(2\sqrt{7}\) см

Отлично! Ты справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!