1. Найдите стороны параллелограмма, если его диагонали равны 24 м и 18 м, а один из углов, образованных ими, равен 150°.

Для решения задачи используем теорему косинусов.

Пусть диагонали параллелограмма $$d_1 = 24 \text{ м}$$ и $$d_2 = 18 \text{ м}$$. Обозначим стороны параллелограмма как $$a$$ и $$b$$. Угол между диагоналями $$\varphi = 150^\circ$$. Тогда половина угла равна $$\frac{\varphi}{2} = 75^\circ$$.

Рассмотрим один из треугольников, образованных половинами диагоналей. По теореме косинусов:

$$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(\frac{\varphi}{2})$$

$$b^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(180^\circ - \frac{\varphi}{2})$$

Так как $$\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$, а половины диагоналей равны 12 м и 9 м, получим:

Рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной параллелограмма. Пусть угол между половинами диагоналей равен $$150^\circ$$. Тогда противоположный угол равен $$30^\circ$$.

По теореме косинусов, для стороны $$a$$:

$$a^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos(150^\circ) = 144 + 81 - 216 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 225 + 108\sqrt{3}$$.

$$a = \sqrt{225 + 108\sqrt{3}} \approx \sqrt{225 + 108 \cdot 1.732} \approx \sqrt{225 + 187.056} \approx \sqrt{412.056} \approx 20.3 \text{ м}$$.

Для стороны $$b$$:

$$b^2 = 12^2 + 9^2 - 2 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \cos(30^\circ) = 144 + 81 - 216 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 225 - 108\sqrt{3}$$.

$$b = \sqrt{225 - 108\sqrt{3}} \approx \sqrt{225 - 108 \cdot 1.732} \approx \sqrt{225 - 187.056} \approx \sqrt{37.944} \approx 6.16 \text{ м}$$.

Ответ: $$a \approx 20.3 \text{ м}$$, $$b \approx 6.16 \text{ м}$$