Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 47 см, а диагональ прямоугольника - 65 см.

Решение:

Обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\).

По условию задачи:

1. Разность сторон: \(a - b = 47\) см.
2. Диагональ: \(d = 65\) см.

Из первого условия выразим одну сторону через другую: \(a = b + 47\).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника и его диагональю, имеем:

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]\[ (b + 47)^2 + b^2 = 65^2 \]\[ b^2 + 2 \cdot 47 \cdot b + 47^2 + b^2 = 65^2 \]\[ 2b^2 + 94b + 2209 = 4225 \]\[ 2b^2 + 94b + 2209 - 4225 = 0 \]\[ 2b^2 + 94b - 2016 = 0 \]\[ b^2 + 47b - 1008 = 0 \]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 47^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1008) = 2209 + 4032 = 6241 \]

Найдем квадратный корень из дискриминанта: \(\sqrt{6241} = 79\).

Найдем значения \(b\):

\[ b_1 = \frac{-47 + 79}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]\[ b_2 = \frac{-47 - 79}{2} = \frac{-126}{2} = -63 \]

Так как сторона прямоугольника не может быть отрицательной, выбираем \(b = 16\) см.

Теперь найдем \(a\):

\[ a = b + 47 = 16 + 47 = 63 \]

Таким образом, стороны прямоугольника равны 63 см и 16 см.

Ответ: 63 см и 16 см.