Найдите стороны треугольника ABC, если ∠A = 45°, ∠C = 30°, а высота AD равна 3 м.

Так как AD — высота, то треугольники ABD и ACD прямоугольные.

1. В треугольнике ACD:

   ∠CAD = 180° − 90° − 30° = 60°.

   По определению синуса:

   \(\sin 30^\circ = \frac{AD}{AC}\), поэтому

   \(AC = \frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{0.5} = 6\text{ м}\).

   Также

   \(\tan 30^\circ = \frac{AD}{CD}\), поэтому

   \(CD = \frac{3}{\tan 30^\circ} = 3\sqrt{3}\text{ м}\).

2. Третий угол исходного треугольника:

   ∠B = 180° − 45° − 30° = 105°.

   В треугольнике ABD угол \(\angle BAD = 15^\circ\). Тогда

   \(\sin 15^\circ = \frac{AD}{AB}\), откуда

   \(AB = \frac{3}{\sin 15^\circ} = 3(\sqrt{6}+\sqrt{2})\text{ м}\).

   Кроме того,

   \(BD = \frac{AD}{\tan 15^\circ} = 3(2+\sqrt{3})\text{ м}\).

3. Так как угол B тупой, основание высоты находится на продолжении стороны BC, поэтому

   \(BC = BD + DC = 3(2+\sqrt{3}) + 3\sqrt{3} = 6+6\sqrt{3}\text{ м}\).

Ответ: \(AC=6\text{ м}\), \(AB=3(\sqrt{6}+\sqrt{2})\text{ м}\), \(BC=6(1+\sqrt{3})\text{ м}\).