Найдите сумму a + b + c при условии, что выполняется равенство $$ \frac{ax^3 + bx^2 + 2x + c}{2x + 1} = x^2 + 1 $$ для всех допустимых значений x.

Решение:

Дано равенство: \( \frac{ax^3 + bx^2 + 2x + c}{2x + 1} = x^2 + 1 \) для всех допустимых значений \( x \).

Чтобы равенство выполнялось для всех \( x \), числитель должен быть равен произведению знаменателя и правой части:

\( ax^3 + bx^2 + 2x + c = (x^2 + 1)(2x + 1) \)

Раскроем скобки в правой части:

\( (x^2 + 1)(2x + 1) = x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot 1 + 1 \cdot 2x + 1 \cdot 1 \)

\( = 2x^3 + x^2 + 2x + 1 \)

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \( x \) в левой и правой частях:

\( ax^3 + bx^2 + 2x + c = 2x^3 + x^2 + 2x + 1 \)

• Коэффициент при \( x^3 \): \( a = 2 \).
• Коэффициент при \( x^2 \): \( b = 1 \).
• Коэффициент при \( x \): \( 2 = 2 \) (это условие выполняется).
• Свободный член: \( c = 1 \).

Найдем сумму \( a + b + c \):

\( a + b + c = 2 + 1 + 1 = 4 \)

Ответ: 4