3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -125, 25, -5,.... 4. Найдите номер члена арифметической прогрессии (аₙ), равного 10,9, если а₁ = 8,5, а разность прогрессии d = 0,3. 5. Какие два числа надо вставить между числами 2 и -54, чтобы они вместе с данными числами образовали гео- метрическую прогрессию? 6. При каком значении х значения выражений х+1, x+5 и 2х + 4 будут последовательными членами геометриче ской прогрессии? Найдите члены этой прогрессии. 7. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, ко- торые больше 50 и меньше 180.

Привет! Разбираемся с задачами по порядку:

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[S = \frac{b_1}{1 - q}\]

где b₁ - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

В данном случае b₁ = -125, q = 25 / (-125) = -0.2

Тогда: \[S = \frac{-125}{1 - (-0.2)} = \frac{-125}{1.2} = -\frac{1250}{12} = -\frac{625}{6} \approx -104.17\]

Ответ: Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна -625/6 или примерно -104.17

4. Номер члена арифметической прогрессии

Номер члена арифметической прогрессии можно найти по формуле: \[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

где aₙ - n-ый член прогрессии, a₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

В данном случае aₙ = 10.9, a₁ = 8.5, d = 0.3

Подставляем значения и решаем уравнение: \[10.9 = 8.5 + (n - 1)0.3\]\[10.9 - 8.5 = (n - 1)0.3\]\[2.4 = (n - 1)0.3\]\[n - 1 = \frac{2.4}{0.3}\]\[n - 1 = 8\]\[n = 9\]

Ответ: Номер члена арифметической прогрессии равен 9.

5. Вставка двух чисел между числами

Чтобы числа 2, x, y, -54 образовали геометрическую прогрессию, должно выполняться:

\[\frac{x}{2} = \frac{y}{x} = \frac{-54}{y}\]

Тогда x² = 2y и y² = -54x

Из первого уравнения y = x²/2. Подставляем во второе уравнение:

\[(\frac{x^2}{2})^2 = -54x\]\[\frac{x^4}{4} = -54x\]\[x^4 = -216x\]\[x^4 + 216x = 0\]\[x(x^3 + 216) = 0\]

Очевидно, x = 0 не подходит, так как тогда y тоже будет 0, и прогрессия не получится.

Значит, x³ = -216, откуда x = -6.

Тогда y = (-6)² / 2 = 36 / 2 = 18.

Ответ: Надо вставить числа -6 и 18.

6. Значение x для геометрической прогрессии

Чтобы x+1, x+5 и 2x+4 были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться:

\[\frac{x+5}{x+1} = \frac{2x+4}{x+5}\]

Тогда (x+5)² = (x+1)(2x+4)

\[x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4\]\[x^2 - 4x - 21 = 0\]

Решаем квадратное уравнение: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100\]

\[x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7\]\[x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4 - 10}{2} = -3\]

Если x = 7, то члены прогрессии: 8, 12, 18. Знаменатель q = 12/8 = 3/2.

Если x = -3, то члены прогрессии: -2, 2, -2. Знаменатель q = -1.

Ответ: При x = 7 члены прогрессии: 8, 12, 18. При x = -3 члены прогрессии: -2, 2, -2.

7. Сумма натуральных чисел, кратных 8

Первое число, кратное 8 и больше 50: 56 (8 * 7)

Последнее число, кратное 8 и меньше 180: 176 (8 * 22)

Сумма арифметической прогрессии: \[S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

где n - количество членов прогрессии, a₁ - первый член, aₙ - последний член.

n = 22 - 7 + 1 = 16

\[S = \frac{16(56 + 176)}{2} = \frac{16 \cdot 232}{2} = 8 \cdot 232 = 1856\]

Ответ: Сумма всех натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180, равна 1856.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все вычисления выполнены верно, и ответы соответствуют условиям задач.

Читерский прием: Всегда проверяй свои ответы, подставляя их в исходные уравнения или условия. Это поможет избежать ошибок и убедиться в правильности решения!