Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (an), если a₃ = -98, a₁₁ = -5.

Решение:

Сначала найдём разность арифметической прогрессии.

1. Разность \( d \) можно найти, используя формулу \( a_n = a_m + (n-m)d \).
2. Подставим известные значения: \( a_{11} = a_3 + (11-3)d \)
3. \( -5 = -98 + 8d \)
4. \( 8d = -5 + 98 \)
5. \( 8d = 93 \)
6. \( d = \frac{93}{8} \)
7. Теперь найдём первый член прогрессии, используя формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
8. \( a_3 = a_1 + (3-1)d \)
9. \( -98 = a_1 + 2 \cdot \frac{93}{8} \)
10. \( -98 = a_1 + \frac{93}{4} \)
11. \( a_1 = -98 - \frac{93}{4} = - \frac{392}{4} - \frac{93}{4} = - \frac{485}{4} \)
12. Теперь найдём сумму двадцати первых членов по формуле \( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}
    \cdot n \).
13. \( S_{20} = \frac{2 \cdot (-\frac{485}{4}) + (20-1) \cdot \frac{93}{8}}{2} \cdot 20 \)
14. \( S_{20} = \frac{-\frac{485}{2} + 19 \cdot \frac{93}{8}}{2} \cdot 20 \)
15. \( S_{20} = \frac{-\frac{1940}{8} + \frac{1767}{8}}{2} \cdot 20 \)
16. \( S_{20} = \frac{-\frac{173}{8}}{2} \cdot 20 \)
17. \( S_{20} = -\frac{173}{16} \cdot 20 \)
18. \( S_{20} = -\frac{173 \cdot 5}{4} \)
19. \( S_{20} = -\frac{865}{4} \)

Ответ: \( S_{20} = -\frac{865}{4} \).