Найдите сумму корней или корень (если он единственный) уравнения \(\frac{x(x+1)}{3/(x-9)-2/(x-7)}=\frac{12}{3/(x-9)+2/(7-x)}\).

ОДЗ: \(x
e9\), \(x
e7\). Кроме того, знаменатели левой и правой частей не должны обращаться в ноль.

Заметим, что \(\frac{2}{7-x}=-\frac{2}{x-7}\). Обозначим \(a=\frac{3}{x-9}\), \(b=\frac{2}{x-7}\). Тогда уравнение имеет вид \(\frac{x(x+1)}{a-b}=\frac{12}{a-b}\). При \(a-b
e0\) сокращаем общий множитель: \(x(x+1)=12\).

Получаем \(x^2+x-12=0\), откуда \((x-3)(x+4)=0\). Следовательно, \(x=3\) или \(x=-4\). Оба значения входят в ОДЗ и удовлетворяют исходному уравнению.

Сумма корней: \(3+(-4)=-1\).

Ответ: \(-1\).