Найдите сумму корней (или корень, если он единственный) уравнения \(\log_{25}(3x-11)\cdot\log_{x-3}5=1\).

ОДЗ: \(3x-11>0\), \(x-3>0\), \(x-3
e1\), поэтому \(x>\frac{11}{3}\), \(x
e4\).

Преобразуем второй множитель:

\[\log_{x-3}5=\frac{1}{\log_5(x-3)}.\]

Так как \(25=5^2\), имеем:

\[\log_{25}(3x-11)=\frac{\log_5(3x-11)}{2}.\]

Уравнение принимает вид

\[\frac{\log_5(3x-11)}{2\log_5(x-3)}=1,\]

откуда

\[\log_5(3x-11)=2\log_5(x-3)=\log_5\bigl((x-3)^2\bigr).\]

Следовательно, \(3x-11=(x-3)^2\):

\[x^2-6x+9=3x-11,\]

\[x^2-9x+20=0,\]

\[(x-4)(x-5)=0.\]

Корень \(x=4\) не входит в ОДЗ, а \(x=5\) допустим.

Ответ: 5