Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения \(x^2-5x=\sqrt{5x-x^2-4}-4\).

ОДЗ: \(5x-x^2-4\ge 0\), то есть \(x^2-5x+4\le 0\), поэтому \(x\in[1;4]\).

Заметим, что \(5x-x^2-4=1-(x^2-5x+4)\). Обозначим \(t=x^2-5x+4\). Тогда \(t\in[0;?]\) при \(x\in[1;4]\), а уравнение принимает вид \(t-4=\sqrt{1-t}-4\), откуда \(t=\sqrt{1-t}\).

Так как правая часть неотрицательна, \(t\ge0\). Возводим в квадрат: \(t^2=1-t\), поэтому \(t^2+t-1=0\). С учётом \(t\ge0\) получаем \(t=\frac{\sqrt5-1}{2}\).

Следовательно, \(x^2-5x+4=\frac{\sqrt5-1}{2}\), или \(x^2-5x+\frac{9-\sqrt5}{2}=0\). Сумма корней этого квадратного уравнения равна \(5\). Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: \(5\)