Найдите сумму корней уравнения (х – 3)⁴ – 4(х – 3)² – 5 = 0.

Ответ: 6

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Введем замену переменной: Пусть \[t = (x - 3)^2\]Тогда уравнение примет вид:\[t^2 - 4t - 5 = 0\]
• Шаг 2: Решим квадратное уравнение относительно t. Используем теорему Виета:Сумма корней равна 4, произведение равно -5. Следовательно, корни:\[t_1 = -1, \quad t_2 = 5\]
• Шаг 3: Сделаем обратную замену и найдем значения x.Так как \[t = (x - 3)^2\]то\[(x - 3)^2 = -1\quad \text{или} \quad (x - 3)^2 = 5\]Первое уравнение не имеет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.Второе уравнение имеет два решения:\[x - 3 = \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x - 3 = -\sqrt{5}\]\[x_1 = 3 + \sqrt{5}, \quad x_2 = 3 - \sqrt{5}\]
• Шаг 4: Найдем сумму корней уравнения\[x_1 + x_2 = (3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 6\]

Ответ: 6