Найдите сумму корней уравнения \(\sqrt{x^2+x+4}=4\)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ \left(\sqrt{x^2+x+4}\right)^2 = 4^2 \] \[ x^2+x+4 = 16 \]
2. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ x^2+x+4-16 = 0 \] \[ x^2+x-12 = 0 \]
3. Найдём дискриминант квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\), где \(a=1\), \(b=1\), \(c=-12\): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
4. Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня.
5. Найдём корни по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
6. Проверим корни в исходном уравнении \(\sqrt{x^2+x+4}=4\):
   • Для \(x=3\): \(\sqrt{3^2+3+4} = \sqrt{9+3+4} = \sqrt{16} = 4\). Верно.
   • Для \(x=-4\): \(\sqrt{(-4)^2+(-4)+4} = \sqrt{16-4+4} = \sqrt{16} = 4\). Верно.
7. Найдём сумму корней: \[ x_1 + x_2 = 3 + (-4) = -1 \]

Ответ: -1.