Найдите сумму квадратов корней уравнения x² + 5x - 8 = 2√x² + 5x + 7.

Решение:

Пусть \( y = x^2 + 5x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y - 8 = 2 \sqrt{y + 7} \)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( (y - 8)^2 = (2 \sqrt{y + 7})^2 \)

\( y^2 - 16y + 64 = 4(y + 7) \)

\( y^2 - 16y + 64 = 4y + 28 \)

\( y^2 - 20y + 36 = 0 \)

Найдем корни этого квадратного уравнения относительно \( y \):

\( D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \)

\( y_1 = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)

\( y_2 = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Теперь вернемся к замене \( y = x^2 + 5x \).

Случай 1: \( y = 18 \)

\( x^2 + 5x = 18 \)

\( x^2 + 5x - 18 = 0 \)

Найдем корни этого уравнения:

\( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 25 + 72 = 97 \)

\( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{97}}{2} \)

\( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{97}}{2} \)

Сумма квадратов корней в этом случае:

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)

По теореме Виета для \( x^2 + 5x - 18 = 0 \): \( x_1 + x_2 = -5 \), \( x_1x_2 = -18 \).

\( x_1^2 + x_2^2 = (-5)^2 - 2(-18) = 25 + 36 = 61 \)

Случай 2: \( y = 2 \)

\( x^2 + 5x = 2 \)

\( x^2 + 5x - 2 = 0 \)

Найдем корни этого уравнения:

\( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 25 + 8 = 33 \)

\( x_3 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} \)

\( x_4 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{2} \)

Сумма квадратов корней в этом случае:

По теореме Виета для \( x^2 + 5x - 2 = 0 \): \( x_3 + x_4 = -5 \), \( x_3x_4 = -2 \).

\( x_3^2 + x_4^2 = (x_3 + x_4)^2 - 2x_3x_4 = (-5)^2 - 2(-2) = 25 + 4 = 29 \)

Проверка условия возведения в квадрат: \( y - 8 \geq 0 \).

Для \( y_1 = 18 \), \( 18 - 8 = 10 \geq 0 \) (подходит).

Для \( y_2 = 2 \), \( 2 - 8 = -6 < 0 \) (не подходит).

Следовательно, мы рассматриваем только корни, полученные из \( y=18 \).

Сумма квадратов корней уравнения:

\( x_1^2 + x_2^2 = 61 \)

Ответ: 61