16. Найдите сумму общих членов прогрессий 12, 15, 18,...... и 1, 3,9,......, если в каждой из них 100 членов. Эгерде 12, 15, 18,...... жана 1, 3, 9,...... прогрессияларынын 100дөн гана мүчөсү берилген болсо, анда бул прогрессиялардын окшош мүчөлөрүнүн суммасын тапкыла. Find the sum of the common terms of the progressions 12,15,18,... and 1,3,9, ... if each of them has 100 terms.

Решение:

Первая прогрессия: 12, 15, 18, ... - арифметическая прогрессия с первым членом $$a_1 = 12$$ и разностью $$d_1 = 3$$.

Вторая прогрессия: 1, 3, 9, ... - геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1 = 1$$ и знаменателем $$q = 3$$.

Найдем общий член каждой прогрессии:

Для арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 12 + (n - 1)3 = 12 + 3n - 3 = 9 + 3n$$

Для геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n - 1} = 1 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n - 1}$$

Теперь найдем общие члены этих прогрессий. Для этого надо найти такие значения $$n$$ и $$m$$, чтобы выполнялось равенство:

$$9 + 3n = 3^{m - 1}$$

Заметим, что при $$n = 6$$, $$a_6 = 9 + 3 \cdot 6 = 27$$

И при $$m = 4$$, $$b_4 = 3^{4 - 1} = 3^3 = 27$$

Таким образом, 27 является общим членом обеих прогрессий.

Найдем еще несколько общих членов. Заметим, что левая часть уравнения $$9 + 3n$$ всегда делится на 3, а правая часть $$3^{m-1}$$ также всегда делится на 3. Разделим обе части уравнения на 3:

$$3 + n = 3^{m - 2}$$

Или $$n = 3^{m - 2} - 3$$

Теперь подставляем различные значения $$m$$, чтобы найти соответствующие значения $$n$$.

Если $$m = 3$$, то $$n = 3^{3 - 2} - 3 = 3 - 3 = 0$$. Но это не имеет смысла, так как $$n$$ должно быть больше 0.

Если $$m = 4$$, то $$n = 3^{4 - 2} - 3 = 9 - 3 = 6$$. Значит, $$a_6 = 27$$ и $$b_4 = 27$$.

Если $$m = 5$$, то $$n = 3^{5 - 2} - 3 = 27 - 3 = 24$$. Тогда $$a_{24} = 9 + 3 \cdot 24 = 9 + 72 = 81$$ и $$b_5 = 3^{5 - 1} = 3^4 = 81$$.

Если $$m = 6$$, то $$n = 3^{6 - 2} - 3 = 81 - 3 = 78$$. Тогда $$a_{78} = 9 + 3 \cdot 78 = 9 + 234 = 243$$ и $$b_6 = 3^{6 - 1} = 3^5 = 243$$.

Получаем последовательность общих членов: 27, 81, 243, ... Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q = 3$$ и первым членом 27.

Так как каждая прогрессия имеет 100 членов, то нам нужно найти сумму нескольких первых членов этой общей геометрической прогрессии. Поскольку члены растут очень быстро, то, вероятно, только несколько членов будут меньше или равны 100-му члену каждой из исходных прогрессий.

Найдем 100-й член арифметической прогрессии: $$a_{100} = 9 + 3 \cdot 100 = 309$$

Найдем 100-й член геометрической прогрессии: $$b_{100} = 3^{99}$$

Общие члены не должны превышать 309.

Перечислим члены общей геометрической прогрессии:

$$c_1 = 27$$

$$c_2 = 81$$

$$c_3 = 243$$

$$c_4 = 729$$

Таким образом, только первые 3 члена (27, 81, 243) являются общими членами обеих прогрессий и не превышают 309.

Теперь найдем сумму этих общих членов: $$S = 27 + 81 + 243 = 351$$

Ответ: 351