Найдите сумму первых 2002 членов последовательности.

Из вычислений членов последовательности следует период \(5,\ \dfrac{2}{3},\ -\dfrac{1}{5},\ -\dfrac{3}{2}\). Сумма членов одного периода:

\(5+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{60+8-12-18}{12}=\dfrac{19}{6}\).

\(2002=4\cdot 500+2\), поэтому первые 2002 члена составляют 500 полных периодов и ещё первые два члена следующего периода. Их сумма равна \(5+\dfrac{2}{3}=\dfrac{17}{3}\).

Следовательно, \(S_{2002}=500\cdot\dfrac{19}{6}+\dfrac{17}{3}=\dfrac{9500+34}{6}=\dfrac{4767}{3}=1589\).

Ответ: 1589.