Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (Bn), в которой b₃ = 27 и b₅ = 243, учитывая что все её члены положительны.

Решение:

Формула n-го члена геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), где \( b_1 \) — первый член, \( q \) — знаменатель прогрессии.

Нам дано: \( b_3 = 27 \) и \( b_5 = 243 \).

Используя формулу, можем записать:

• \( b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 27 \)
• \( b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 = 243 \)

Разделим второе уравнение на первое:

\( \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = \frac{243}{27} \)

\( q^2 = 9 \)

Так как все члены прогрессии положительны, знаменатель \( q \) также положителен. Следовательно, \( q = 3 \).

Теперь найдем первый член прогрессии \( b_1 \), используя \( b_3 = 27 \):

\( b_1 \cdot q^2 = 27 \)

\( b_1 \cdot 3^2 = 27 \)

\( b_1 \cdot 9 = 27 \)

\( b_1 = \frac{27}{9} = 3 \).

Формула суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Нам нужно найти сумму первых пяти членов \( S_5 \). Подставим значения \( b_1 = 3 \), \( q = 3 \) и \( n = 5 \) в формулу:

\[ S_5 = \frac{3(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{3(243 - 1)}{2} = \frac{3 \cdot 242}{2} = 3 \cdot 121 = 363 \]

Ответ: 363