Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
615. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой: a) b₁ = 8, q = \frac{1}{2}; б) b₁ = 500, q = \frac{1}{5}.
Ответ:
Решаем задание на геометрическую прогрессию!
Краткое пояснение: Чтобы найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, используем формулу: \( S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \), где \( b_1 \) - первый член, \( q \) - знаменатель, \( n \) - количество членов. Разберем каждый случай отдельно.
а) \( b_1 = 8 \), \( q = \frac{1}{2} \)
- Подставляем значения в формулу суммы: \[ S_5 = \frac{8(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} \]
- Упрощаем выражение: \[ S_5 = \frac{8(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} \]
- Продолжаем упрощение: \[ S_5 = \frac{8(\frac{31}{32})}{\frac{1}{2}} \]
- Делим на дробь, что равносильно умножению на перевернутую дробь: \[ S_5 = 8 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 \]
- Сокращаем и вычисляем: \[ S_5 = \frac{31}{2} = 15.5 \]
Ответ: 15.5
б) \( b_1 = 500 \), \( q = \frac{1}{5} \)
- Подставляем значения в формулу суммы: \[ S_5 = \frac{500(1 - (\frac{1}{5})^5)}{1 - \frac{1}{5}} \]
- Упрощаем выражение: \[ S_5 = \frac{500(1 - \frac{1}{3125})}{\frac{4}{5}} \]
- Продолжаем упрощение: \[ S_5 = \frac{500(\frac{3124}{3125})}{\frac{4}{5}} \]
- Делим на дробь, что равносильно умножению на перевернутую дробь: \[ S_5 = 500 \cdot \frac{3124}{3125} \cdot \frac{5}{4} \]
- Сокращаем и вычисляем: \[ S_5 = \frac{3124}{5} = 624.8 \]
Ответ: 624.8
